27.4. Уравнение плоскости в векторной форме.

Уравнение (3) можно еще записать, очевидно, в виде

.                                                     (3')

Введем в рассмотрение вектор

.

При  он направлен в сторону единичного вектора  и имеет длину, равную .

 Если , то .

Помножим равенство (3') на  и учтем, что

;

тогда получим

,

или

.

Учитывая свойства скалярного произведения, последнее равенство можно записать в виде

.                                                   (5)

Обратными рассуждениями из (5) можно снова получить (3'). Это показывает, что равенство (5) эквивалентно уравнению плоскости (1), т. е. уравнение (5) можно считать уравнением рассматриваемой нами плоскости (1). Говорят еще, что уравнение (5) есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при  (т. е. ).

Таким образом, плоскость (1) - это геометрическое место точек , которые удовлетворяют уравнению (5).

Пусть теперь  или, что все равно, .

Тогда уравнение (3') имеет вид

                       (5’)

Уравнение (5') и есть уравнение плоскости (1) в векторной форме при . Оно выражает, что множество всех точек плоскости состоит из всех точек  удовлетворяющих (5'), где  - любой из двух возможных единичных векторов.