27.5. Геометрическая интерпретация уравнений.
Условимся
говорить, что вектор
ортогонален к отрезку
, если он ортогонален
к вектору
,
т.е. если
.
Будем также
говорить, что вектор
ортогонален к плоскости
если он ортогонален
к любому отрезку, принадлежащему
.
Покажем, что
если точки
и
принадлежат
плоскости (5), то и отрезок
принадлежит этой плоскости. В самом
деле, по условию
.
Далее,
произвольная точка
отрезка
может быть
записана в виде
,
поэтому
Таким образом,
принадлежит
плоскости (5), а, следовательно, и весь отрезок
принадлежит этой плоскости.
Из уравнения (5)
видно, что точка
принадлежит
к этой плоскости:
.
В силу
вышесказанного плоскость (1) можно определить как геометрическое место точек
таких, что разность
, где
- радиус-вектор
точки
, ортогональна
к вектору
.
Покажем еще, что
вектор
ортогонален к
плоскости (5).
В самом деле, в
силу равенства
вектор
коллинеарен
вектору
и,
следовательно, он ортогонален к любому вектору
, принадлежащему, плоскости (5), т. е.
ортогонален к плоскости (5) или, что все равно к плоскости (1).
Итак, числа
, в уравнении
плоскости (1) имеют геометрический смысл — вектор
, составленный из
коэффициентов при
этого
уравнения, ортогонален к плоскости (1).
Если
или, что все равно,
, то рассматриваем
уравнение (5'), эквивалентное уравнению (1). Уравнение (5') выражает, что
множество всех точек
плоскости (1) состоит из точек
, радиус-векторы
которых ортогональны к вектору
.
В этом случае
вектор
, коллинеарный
вектору
, снова
ортогонален к плоскости (1).