27.5. Геометрическая интерпретация уравнений.

Условимся говорить, что вектор  ортогонален к отрезку , если он ортогонален к вектору , т.е. если

.

Будем также говорить, что вектор  ортогонален к плоскости  если он ортогонален к любому отрезку, принадлежащему .

Покажем, что если точки  и  принадлежат плоскости (5), то и отрезок  принадлежит этой плоскости. В самом деле, по условию

.

Далее, произвольная точка  отрезка  может быть записана в виде

,

поэтому

Таким образом,  принадлежит плоскости (5), а, следовательно, и весь отрезок  принадлежит этой плоскости.

Из уравнения (5) видно, что точка  принадлежит к этой плоскости: .

В силу вышесказанного плоскость (1) можно определить как геометрическое место точек  таких, что разность , где  - радиус-вектор точки , ортогональна к вектору .

Покажем еще, что вектор

ортогонален к плоскости (5).

В самом деле, в силу равенства  вектор  коллинеарен вектору  и, следовательно, он ортогонален к любому вектору , принадлежащему, плоскости (5), т. е. ортогонален к плоскости (5) или, что все равно к плоскости (1).

Итак, числа , в уравнении плоскости (1) имеют геометрический смысл — вектор , составленный из коэффициентов при  этого уравнения, ортогонален к плоскости (1).

Если  или, что все равно, , то рассматриваем уравнение (5'), эквивалентное уравнению (1). Уравнение (5') выражает, что множество всех точек  плоскости (1) состоит из точек , радиус-векторы которых ортогональны к вектору .

В этом случае вектор , коллинеарный вектору , снова ортогонален к плоскости (1).