27.6. Уравнение плоскости, проходящей через n точек

Теорема. Пусть задано  точек

определяющих матрицу

.                                               (6)

Тогда если ранг  равен  (ранг ), то через указанные  точек можно провести плоскость и притом единственную.

Если же ранг матрицы  меньше чем  (ранг ), то через указанные  точек можно провести бесконечное множество плоскостей.

Доказательство. Пусть ранг .

Уравнение искомой плоскости запишем в виде

.                                                    (7)

Так как эта плоскость должна проходить через точку , то должно удовлетворяться равенство

.                                                    (8)

Вычитая равенство (8) из равенства (7), получим уравнение

,                                                             (9)

справедливое для всех точек  искомой плоскости.

Так как точки  должны принадлежать искомой плоскости, то их координаты должны удовлетворять уравнению (9), т. е. должны выполняться равенства

                                                        (10)

Итак, числа  должны быть решениями однородной системы, состоящей из равенства (9) и равенств (10), где  - произвольная точка искомой плоскости. Но числа  должны быть одновременно не равны нулю. Поэтому определитель однородной системы должен равняться нулю:

                           (11)

для всех точек  искомой плоскости.

Уравнение (11) и есть уравнение искомой плоскости. Если определитель левой части этого уравнения разложить по элементам первой строки, то получим уравнение вида (9) с коэффициентами  равными определителям  - го порядка, порождаемым матрицей  с соответствующим знаком. По условию среди этих определителей есть хотя бы один, не равный нулю.

Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь ранг матрицы  меньше  (ранг ). Тогда, рассуждая, как прежде, мы придем к тому, что любая точка  плоскости, проходящей через заданные  точек, должна удовлетворять системе, состоящей из уравнения (9) и уравнений (10) при некоторых постоянных .

Так как ранг , то система (10) имеет бесконечное число решений . При этом по крайней мере два из чисел , пусть  и , могут быть любыми независимыми друг от друга числами - им можно придавать любые числовые значения.

Если подставить найденные числа  в уравнение (9), то различным не пропорциональным между собой парам  будут соответствовать заведомо разные плоскости, проходящие через заданные  точек.

Второе утверждение теоремы доказано.

Уравнение (11) можно записать в форме

.