4.2. Формула Крамера

Теорема 1. Если определитель системы (1) не равен нулю:

,

то система (1) имеет единственное решение для любого вектора , вычисляемое по формулам (Крамера)

,                                        (3)

где  - определитель, получаемый из определителя , если в нем заменить числа -го столбца соответственно на числа :

                              (4)

Таким образом,

,                                                           (3’)

где  есть адъюнкт элемента  в определителе .

Доказательство. Пусть  есть решение системы (1). Чтобы найти неизвестное число , умножим первое уравнение системы (1) на адъюнкт , второе - на , …, -е – на  и сложим все уравнения системы. Тогда, учитывая, что

и

,

получаем , где

.

Следовательно, так как по условию , то.

В общем случае при произвольном  умножаем первое уравнение системы (1) на , второе – на , …, -е - на , складываем эти уравнения и получаем на основании свойств определителей е), ж) равенство

,

т.е.

,

где

.

Отсюда в силу того, что , следует равенство (3).

Мы доказали, что если  есть решение системы (1), то числа  определяются формулами (3').

Обратно, совокупность чисел   является решением системы (1). В самом деле, подставляя  в левую часть -го уравнения  системы (1), на основании свойств е), ж) определителя, имеет

.

Таким образом, числа (3') действительно являются решением системы (1)