4.4 Правило решения системы линейных уравнений.
Теперь мы переходим к исследованию системы (1) в случае, когда ее определитель
. Будем предполагать, что хотя бы один элемент матрицы
(см. (2)) не равен нулю и обозначим ранг
через
(
). Таким образом,
.
Нашей целью будет доказать следующие правила (явным образом они сформулированы и доказаны Кронекером и Капелли).
Если мы хотим решить систему (1), для которой известно, что ранг матрицы
ее коэффициентов равен
, то мы должны узнать ранг расширенной матрицы
,
полученной присоединением к
столбца
.
1) Если ранг
больше ранга
(ранг
> ранг
), то система (1) вовсе не имеет решений. Она противоречива - не существует вектора
, удовлетворяющего одновременно всем уравнениям (1).
2) Если ранг
равен рангу
(ранг
= ранг
), то система (1) имеет решения. Чтобы найти их, мы должны выбрать из системы (1) какие-нибудь
уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг
, и решить эти
уравнений. Решений у этой системы из
уравнений будет бесконечно много, но их можно записать в обозримом виде.
При этом любое решение взятых нами
уравнений автоматически является решением остальных
уравнений системы (1).
Правила 1) и 2) исчерпывают возможные ситуации, потому что ранг
не может быть меньшим
.
Ведь матрица
по условию порождает не равный нулю определитель
-го порядка, который порождается также и матрицей
.