4.4 Правило решения системы линейных уравнений.

Теперь мы переходим к исследованию системы (1) в случае, когда ее определитель . Будем предполагать, что хотя бы один элемент матрицы  (см. (2)) не равен нулю и обозначим ранг  через  (). Таким образом,.

Нашей целью будет доказать следующие правила (явным образом они сформулированы и доказаны Кронекером и Капелли).

Если мы хотим решить систему (1), для которой известно, что ранг матрицы  ее коэффициентов равен , то мы должны узнать ранг расширенной матрицы

,

полученной присоединением к  столбца

.

1) Если ранг  больше ранга  (ранг  > ранг ), то система (1) вовсе не имеет решений. Она противоречива - не существует вектора , удовлетворяющего одновременно всем уравнениям (1).

2) Если ранг  равен рангу  (ранг  = ранг ), то система (1) имеет решения. Чтобы найти их, мы должны выбрать из системы (1) какие-нибудь  уравнений, матрица коэффициентов которых имеет ранг , и решить эти  уравнений. Решений у этой системы из  уравнений будет бесконечно много, но их можно записать в обозримом виде.

При этом любое решение взятых нами  уравнений автоматически является решением остальных  уравнений системы (1).

Правила 1) и 2) исчерпывают возможные ситуации, потому что ранг  не может быть меньшим .

Ведь матрица  по условию порождает не равный нулю определитель -го порядка, который порождается также и матрицей .