4.5 Примеры приложения правил

Пример 1. Система

имеет определитель

и потому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам

,       ,

где

,      ,

т. е.

,               

Пример 2. Система

                                                           (6)

имеет определитель, равный нулю. Матрица

имеет ранг . А матрица

имеет ранг . Так как  ранг  ранг , то система (6) не имеет решений. Это видно, впрочем, и без нашей теории: одно и тоже число не может равняться и 1 и 2.

Пример 3. Система

                                                   (7)

имеем определитель . Матрица

имеет ранг . Расширенная матрица

тоже имеет ранг . Так как ранг  = ранг , то берем одно уравнение

.                                       (8)

Коэффициент при  не равен нулю, поэтому это уравнение можно решить относительно :

.                                             (9)

Формула (9) дает все решения уравнения (8). Мы можем задать любое значение  и вычислить значение  по формуле (9). Получим систему (вектор) , удовлетворяющую уравнению (8). Множество всех систем , где , образует множество всех решений уравнения (8). Эти решения автоматически являются решениями и второго уравнения системы (7), потому что ранг  = ранг . В данном случае этот результат очевиден без применения теории о рангах матриц. Коэффициенты уравнений (7) вместе с их правыми частями соответственно пропорциональны, поэтому ясно, что всякое решение одного из этих уравнений является также решением другого.

Пример 4. Система

имеет определитель

и поэтому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам

,

,

.

Пример 5. Система

имеет определитель

.

Матрица

имеет ранг , так как , но имеется определитель второго порядка, порожденный матрицей , не равный нулю. Например

.

Матрица

имеет ранг , так как определитель, порожденный этой матрицей,

.

Так как ранг  ранг , то система не имеет решения.

Пример 6. Система

                                                 (10)

имеет определитель

.

Легко подсчитать, что матрицы

,          

имеют равные ранги, причем ранг  ранг . Выберем из системы (10) два уравнения так, чтобы ранг матрицы  из коэффициентов этих уравнений был равен 2. В данном случае можно взять первое и второе уравнения или первое и третье. Итак, рассмотрим систему

                                            (11)

Перенесем в правые части этих уравнений одно из неизвестных так, чтобы коэффициенты при оставшихся неизвестных образовывали матрицу , у которой ранг . В данном случае можно перенести или  или . Итак, неоднородная система

                                             (12)

имеет определитель

,

поэтому она имеет единственное решение при любой правой части:

,    .

Таким образом, тройки чисел  при всяком  дают все решения системы (12) и автоматически решения третьего уравнения системы (10) (это уравнение получается из второго умножением на 2).