4.5 Примеры приложения правил
Пример 1. Система

имеет определитель

и потому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам
,
,
где
,
,
т. е.
, 
Пример 2. Система
(6)
имеет определитель, равный нулю. Матрица

имеет ранг
. А матрица

имеет ранг
. Так как ранг
ранг
, то система (6) не имеет решений. Это видно, впрочем, и без нашей теории: одно и тоже число не может равняться и 1 и 2.
Пример 3. Система
(7)
имеем определитель
. Матрица

имеет ранг
. Расширенная матрица

тоже имеет ранг
. Так как ранг
= ранг
, то берем одно уравнение
. (8)
Коэффициент при
не равен нулю, поэтому это уравнение можно решить относительно
:
. (9)
Формула (9) дает все решения уравнения (8). Мы можем задать любое значение
и вычислить значение
по формуле (9). Получим систему (вектор)
, удовлетворяющую уравнению (8). Множество всех систем
, где
, образует множество всех решений уравнения (8). Эти решения автоматически являются решениями и второго уравнения системы (7), потому что ранг
= ранг
. В данном случае этот результат очевиден без применения теории о рангах матриц. Коэффициенты уравнений (7) вместе с их правыми частями соответственно пропорциональны, поэтому ясно, что всякое решение одного из этих уравнений является также решением другого.
Пример 4. Система

имеет определитель

и поэтому имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам
,
,
.
Пример 5. Система

имеет определитель
.
Матрица

имеет ранг
, так как
, но имеется определитель второго порядка, порожденный матрицей
, не равный нулю. Например
.
Матрица

имеет ранг
, так как определитель, порожденный этой матрицей,
.
Так как ранг
ранг
, то система не имеет решения.
Пример 6. Система
(10)
имеет определитель
.
Легко подсчитать, что матрицы
, 
имеют равные ранги, причем ранг
ранг
. Выберем из системы (10) два уравнения так, чтобы ранг матрицы
из коэффициентов этих уравнений был равен 2. В данном случае можно взять первое и второе уравнения или первое и третье. Итак, рассмотрим систему
(11)
Перенесем в правые части этих уравнений одно из неизвестных так, чтобы коэффициенты при оставшихся неизвестных образовывали матрицу
, у которой ранг
. В данном случае можно перенести или
или
. Итак, неоднородная система
(12)
имеет определитель
,
поэтому она имеет единственное решение при любой правой части:
,
.
Таким образом, тройки чисел
при всяком
дают все решения системы (12) и автоматически решения третьего уравнения системы (10) (это уравнение получается из второго умножением на 2).