4.6 Обоснование правил

Теорема 4. Если система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение , то необходимо ранг ранг .

Теорема 4 дает обоснование правилу 1), по которому, если ранг  ранг , то не выполняется необходимое условие совместности (непротиворечивости) системы (1).

Доказательство теоремы 4. Пусть система (1) имеет решение и ранги . Нам надо доказать, что ранг . Так как по условию ранг , то существует не равный нулю определитель -го порядка, порождаемый матрицей , следовательно и матрицей . Поэтому ранг . Остается доказать, что всякий определитель -го порядка, порождаемый матрицей , равен нулю. Если такой определитель состоит только из элементов , то он заведомо равен нулю, потому что он порождается также и матрицей , которая по условию имеет ранг . Таким образом, нужно доказать, что любой определитель -го порядка, порождаемый матрицей  и содержащей в себе столбец из чисел , равен нулю. Не нарушая общности можно считать, что это определитель

.

К этому можно свести любой случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные . По условию система (1) совместна, т. е. существует вектор , удовлетворяющий уравнениям этой системы. Но тогда , в частности, удовлетворяет первым  уравнениям заново перенумерованной системы. Следовательно,

                                        (13)

где

                                       (14)

Составим систему с неизвестными , , …, :

                                             (15)

На основании (13) и (14) эта система удовлетворяется числами , среди которых во всяком случае одно не равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см. теорему 3), т. е.

   (16)

потому что определители (-го порядка!), входящие в сумму , равны нулю  - ведь ранг матрицы  равен .

Мы доказали, что любой определитель -го порядка, порождаемый матрицей , равен нулю, что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к обоснованию правила 2). Так как ранг матрицы  равен  (ранг  = ), то система (1) содержит  уравнений, матрица коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель -го порядка. Перенумеровывая заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые  уравнений системы (1)

                                                           (1')

будут иметь определитель

.

Перенумерованную систему (1') перепишем еще так:

                                  (17)

В силу того, что определитель , любой системе чисел  соответствует единственная система чисел , которые, очевидно, можно записать следующим образом:

                                (18)

где  - адъюнкты элементов  в определителе . Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле (18). Числам  можно придавать любые значения, а числа , будут  вычисляться  по формулам (18). Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.

Мы хотим обосновать, что, если ранг  = ранг , то любое найденное нами решение  первых  уравнений системы (1) автоматически является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем, что оно является решением -го уравнения. Итак, рассмотрим первые  уравнений системы (1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение  первых  уравнений (13) автоматически является решением -го уравнения в (13). Пусть  есть вектор, удовлетворяющий первым  уравнениям в (13). Составим уравнения (15) относительно неизвестных , где числа , вычисляются по формулам (14) через компоненты  вектора . Определитель системы (15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево. По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное решение . Здесь число , потому что,  если допустить,  что система  (15)  имеет  решение  вида , то числа  должны обратиться в нули, потому что определитель . Но тогда  и система  была бы тривиальной. Вследствие однородности системы (15) не только числа  удовлетворяют этой системе, но и числа

обладают тем же свойством. Но тогда числа  удовлетворяют системе первых  уравнений (13), имеющей определитель . Мы уже знаем, что эта последняя система имеет решения  и в силу единственности

.

Обращаясь к последнему уравнению (15), мы видим, что оно удовлетворяется числами , т.е. числа  удовлетворяют -му уравнению системы (13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор  удовлетворяет -му уравнению системы (1). Этим утверждение 2) доказано.