4.6 Обоснование правил
Теорема 4. Если система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение
, то необходимо ранг
ранг
.
Теорема 4 дает обоснование правилу 1), по которому, если ранг
ранг
, то не выполняется необходимое условие совместности (непротиворечивости) системы (1).
Доказательство теоремы 4. Пусть система (1) имеет решение и ранги
. Нам надо доказать, что ранг
. Так как по условию ранг
, то существует не равный нулю определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
, следовательно и матрицей
. Поэтому ранг
. Остается доказать, что всякий определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
, равен нулю. Если такой определитель состоит только из элементов
, то он заведомо равен нулю, потому что он порождается также и матрицей
, которая по условию имеет ранг
. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
и содержащей в себе столбец из чисел
, равен нулю. Не нарушая общности можно считать, что это определитель
.
К этому можно свести любой случай, перенумеровывая соответствующим образом уравнения и неизвестные
. По условию система (1) совместна, т. е. существует вектор
, удовлетворяющий уравнениям этой системы. Но тогда
, в частности, удовлетворяет первым
уравнениям заново перенумерованной системы. Следовательно,
(13)
где
(14)
Составим систему с неизвестными
,
, …,
:
(15)
На основании (13) и (14) эта система удовлетворяется числами
, среди которых во всяком случае одно не равно нулю. Но тогда определитель однородной системы (15) равен нулю (см. теорему 3), т. е.
(16)
потому что определители (
-го порядка!), входящие в сумму
, равны нулю - ведь ранг матрицы
равен
.
Мы доказали, что любой определитель
-го порядка, порождаемый матрицей
, равен нулю, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к обоснованию правила 2). Так как ранг матрицы
равен
(ранг
=
), то система (1) содержит
уравнений, матрица коэффициентов которых порождает не равный нулю определитель
-го порядка. Перенумеровывая заново уравнения и неизвестные, можно достигнуть того, что первые
уравнений системы (1)
(1')
будут иметь определитель
.
Перенумерованную систему (1') перепишем еще так:
(17)
В силу того, что определитель
, любой системе чисел
соответствует единственная система чисел
, которые, очевидно, можно записать следующим образом:
(18)
где
- адъюнкты элементов
в определителе
. Следовательно, все решения системы (17) записаны по формуле (18). Числам
можно придавать любые значения, а числа
, будут вычисляться по формулам (18). Отсюда мы видим, что система (17) имеет бесконечное множество решений.
Мы хотим обосновать, что, если ранг
= ранг
, то любое найденное нами решение
первых
уравнений системы (1) автоматически является решением остальных уравнений этой системы. Для определенности докажем, что оно является решением
-го уравнения. Итак, рассмотрим первые
уравнений системы (1), которые мы запишем в виде (13). Надо доказать, что всякое решение
первых
уравнений (13) автоматически является решением
-го уравнения в (13). Пусть
есть вектор, удовлетворяющий первым
уравнениям в (13). Составим уравнения (15) относительно неизвестных
, где числа
, вычисляются по формулам (14) через компоненты
вектора
. Определитель системы (15) равен нулю. Это видно из равенств (16), которые надо читать справа налево. По условию определитель справа равен нулю. Но тогда система (15) имеет нетривиальное решение
. Здесь число
, потому что, если допустить, что система (15) имеет решение вида
, то числа
должны обратиться в нули, потому что определитель
. Но тогда
и система
была бы тривиальной. Вследствие однородности системы (15) не только числа
удовлетворяют этой системе, но и числа 

обладают тем же свойством. Но тогда числа
удовлетворяют системе первых
уравнений (13), имеющей определитель
. Мы уже знаем, что эта последняя система имеет решения
и в силу единственности
.
Обращаясь к последнему уравнению (15), мы видим, что оно удовлетворяется числами
, т.е. числа
удовлетворяют
-му уравнению системы (13), и в силу (14) рассматриваемый нами вектор
удовлетворяет
-му уравнению системы (1). Этим утверждение 2) доказано.