4.7. Метод решения системы путем исключения неизвестных.Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса). Пусть дана система
Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1") на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1"), получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование Указанные три преобразования Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу Ниже приводятся примеры применения этого метода. Операция Пример 7. Решить систему Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти Составим матрицу
где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу
В матрице
Вторую строку можно еще умножить на (-1), чтобы запись была проще:
Дальнейшие преобразования матриц очевидны: Отсюда Рассмотрим с этой точки зрения пример 5:
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей: В последней строке свободный член равен единице, а коэффициенты при неизвестных равны нулю, поэтому система несовместна. Наконец, в примере 6 Отсюда
т.е. система имеет бесконечное множество решений:
где
|