4.8. Нахождение ранга матрицы.

Если нас интересует только вопрос о ранге матрицы , то указанные выше элементарные операции  распространим не только на строки, но и на столбцы матрицы. При этом, если в процессе этих преобразований в матрице появляются строка или столбец, целиком состоящие из нулей, то их надо удалить из матрицы, т. е. рассматривать далее матрицу меньшего размера.

Следующие примеры иллюстрируют этот метод.

Пример 8. Найти ранг матрицы

.

Ясно, что ранг матрицы  не больше 4. В данном случае . Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей строке, получаем

.

Теперь, умножая первый столбец на соответствующие числа и прибавляя его к остальным столбцам, получим матрицу

.

Второй столбец уже состоит из нулей, кроме элемента . Умножая второй столбец на (-1) и прибавляя его к 4, 6, 7 столбцам, получим

Определитель четвертого порядка матрицы , не равен нулю, следовательно, ранг  = ранг  = 4.

Пример 9. Найти ранг матрицы

т. е. ранг матрицы  равен двум.

Рассуждения в примерах 8 и 9 основаны на следующем общем утверждении: при элементарном преобразовании  ранг матрицы сохраняется, т. е. выполняется равенство

ранг  = ранг .

Это утверждение очевидно, если элементарное преобразование сводится к замене местами строк или столбцов матрицы или к выкидыванию из матрицы ее строки или столбца, состоящих из нулей.

Остается еще один случай, который мы выразим в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть матрица  подвергнута преобразованию , заключающемуся в том, что к некоторой ее строке (столбцу) прибавляется другая какая-либо строка (столбец), умноженная на число . Тогда ранги матриц  и  равны.

Доказательство. Будем доказывать эту теорему для строк (для столбцов рассуждения аналогичны).

Пусть  есть номер строки матрицы , умножаемой на число  и прибавляемой к другой строке , которую будем считать имеющей номер  (таким образом, -я строка матрицы  состоит из элементов , ). Пусть

ранг , ранг .

Достаточно показать, что , потому что по аналогии доказывается также, что , откуда .

Если , то все элементы матрицы  равны нулю и, следовательно, равны нулю все элементы матрицы , откуда .

Пусть теперь . Тогда существует матрица  порядка , порождаемая матрицей , с неравным нулю определителем (), а все матрицы , порождаемые , порядка, большего , имеют определители, равные нулю. При преобразовании  матрица  преобразуется в некоторую матрицу  (). Пусть матрица  имеет порядок, больший .

Если -я строка матрицы  не участвует в образовании , то, очевидно,  и .

Если в образовании  участвуют обе строки  с номерами  и , то . Ведь чтобы получить определитель  надо к некоторой строке определителя  прибавить определенную другую его строку, умноженную на число , от чего величина определителя не меняется.

Наконец, пусть в образовании матрицы  участвует -я строка, но не участвует -я строка. Очевидно (см. свойство з) определителя),

,                                     (19)

где  - матрица порядка, большего , получаемая из  заменой элементов -й строки на соответствующие элементы -й строки матрицы . Но такая замена не меняет ранг  и так как , то .

Из (19) получаем .

Мы пересмотрели все случаи, когда матрица  имеет порядок, больший чем , и всякий раз оказывалось, что . Это показывает, что

 = ранг ,

что и требовалось доказать.