§ 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка

Основные рассуждения в этом параграфе ведутся в -мерном пространстве. Мы думаем, что это не затруднит читателя.

Рассмотрим функцию

,                                     (1)

заданную на некотором открытом множестве  (см. § 8.3). Ее можно бесконечным числом способов записать в виде

,                                          (2)

где

.                  (3)

Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: переменная  есть функция от независимой векторной переменной ; эта же переменная  есть функция от зависимой векторной переменной . Последняя зависит от независимой переменной : каждому вектору  из  соответствует вектор .

Таким образом, роль векторной переменной  здесь носит исключительный характер – она в приводимых ниже рассуждениях будет фигурировать только как независимая переменная.

Пусть функция  имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке . Тогда, как мы знаем из § 8.5, она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может быть записано в виде

,                    (4)

,

и ее дифференциал равен

.                                         (5)

Для независимых  полагают

                          (6)

и называют эти величины не только приращениями независимых переменных , но и их дифференциалами. Мы будем их называть независимыми дифференциалами в знак того, что они не зависят от . Формально «независимость» величин  будет проявляться в том, что при дифференцировании (по ) они будут рассматриваться как постоянные .

В силу соглашения (6) дифференциал  может быть записан в форме

.                                       (7)

Ясно, что  есть величина, зависящая, вообще говоря, от  и .

Для любых двух функций  и , имеющих непрерывные частные производные в точке , справедливы свойства

                                   (8)

,                                    (9)

,                (10)

и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непрерывны в точке .

Докажем, например, третье из этих равенств

.

Непрерывность  видна из третьего члена цепи.

Дифференциал от функции  называют еще дифференциалом первого порядка, потому что приходится еще рассматривать дифференциалы высших порядков.

Пусть теперь функция  имеет вторые непрерывные частные производные. По определению второй дифференциал от нее, соответствующий независимым приращениям (дифференциалам) , определяется равенством

,                                   (11)

где считается, что обе операции  в правой части (11) берутся для указанных независимых , которые должны рассматриваться как постоянные (не зависящие от ). Таким образом,

.          (12)

Так как , то второй дифференциал представляет собой квадратичную форму  относительно независимых дифференциалов . Квадратичной формой от переменных  называется функция вида

.

Вообще дифференциал порядка  от  для независимых дифференциалов  определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения

,                        (13)

где  берутся для указанных независимых дифференциалов , которые к тому же рассматриваются при вычислениях как постоянные (не зависящие от ).

Рассуждая, как в (12), легко получим, что

.

Так как мы предполагаем, что функция  имеет непрерывные частные производные, то запись дифференциалов можно упростить.

Например, для функции от двух переменных  имеем

,

.

Применяя метод математической индукции, легко получим, что

.

Символически это можно записать так:

,

где в правой части мы сначала возводим выражение в степень , а затем подписываем  при символе .

В многомерном случае имеет место аналогичная символическая формула

.                                    (14)

Мы определили понятие дифференциала функции  в терминах независимых переменных  (или независимой векторной переменной ). Но пусть, как это было объяснено в начале этого параграфа,  рассматривается теперь как функция от зависимой векторной переменной . Возникает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и высшего порядков в терминах этой переменной . Начнем изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.

Будем предполагать, что функции  и , о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные производные. Тогда

,      (15)

и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от  выражается через зависимые переменные так же, как через независимые. В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.

Чтобы исследовать поставленный вопрос в случае второго дифференциала, будем предполагать, что функции  и  имеют непрерывные частные производные второго порядка.

Дифференцируя обе части (15), приняв во внимание свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже)

.                    (16)

Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойством (8), в третьем же – свойством (9), и, кроме того, тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняется и для зависимых переменных . Мы видим, что второй дифференциал от , выраженный в терминах зависимых переменных , существенно распадается на два слагаемых. Первое слагаемое представляет собой квадратичную форму, аналогичную форме (12), где  выражалось через независимые переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с которым надо считаться: если   не является линейной функцией от , то этот добавок отнюдь не равен нулю.

Отметим, что из наших рассуждений следует, что если выражение (16) взято для , которые фигурируют в выражении (12), то оба эти выражения тождественно равны, каковы бы ни были , для которых существуют указанные непрерывные частные производные второго порядка и каковы бы ни были независимые  .

Вычисление дифференциалов  через зависимые переменные  производится подобным образом последовательно. Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них становятся все более громоздкими.