§ 8.10. Формула Тейлора
Ограничимся рассмотрением функции от двух переменных. Пусть
имеет в окрестности точки
непрерывные производные всех порядков до
-го включительно. Возьмем в этой окрестности точку
. Соединим точки
и
отрезком прямой, уравнение которого можно записать в параметрической форме следующим образом:
.
Тогда вдоль этого отрезка наша функция
будет функцией от одного переменного 
. (1)
Легко видеть, что разность
. (2)
Формула Маклорена для функции
в окрестности точки
имеет вид

.
Полагая
, получим
. (3)
Вычислим производные функции
через
. Из соотношения (1) имеем
.
откуда при
получаем
.
Совершенно аналогично

.
Продолжая этот процесс, получим
.
В силу этого из (2) и (3) имеем
. (4)
Формула (4) называется формулой Тейлора для функции
. По внешнему виду она такая же, как и для функции от одного переменного, но в развернутом виде она гораздо сложнее.
Для случая функции от
переменных
формула Тейлора записывается в том же виде (4).
При
формула Тейлора для функции
от
переменных имеет вид
,
где символ
означает, что функция в скобках вычисляется в точке
. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай.
При
и
формула (4) в развернутом виде записывается так:



.
При
и произвольном
формула (4) выглядит следующим образом:

где
.