§ 8.11. Замкнутое множество

Множество называется ограниченным, если существует число такое, что

иначе говоря, если существует шар в с центром в нулевой точке, содержащей в себе .

Множество называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек , принадлежащих к , сходится к точке следует, что принадлежит к .

В этом определении не утверждается, что содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит к .

Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство тоже, очевидно, замкнуто, но не ограничено.

Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве

, (1)

т. е. множество точек , удовлетворяющих уравнению (1). Обозначим это множество через . Это ограниченное множество, потому что для любой его точки выполняется неравенство

где . Оно также замкнуто, потому что если задать произвольную последовательность точек , стремящуюся к точке , то эта последняя тоже принадлежит к . Ведь из равенства

после перехода к пределу при следует равенство

показывающее, что .

Рассмотрим теперь более обширное множество , состоящее из точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

. (2)

Множество , очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто, потому что если

т. е.

и , то очевидно,

т. е. .

В связи с этим интересно рассмотреть еще третий пример множества точек с координатами, удовлетворяющими строгому неравенству

. (3)

Множество открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто. Возьмем, например, последовательность точек , где стремится к числу , строго возрастая. Тогда и . Однако, предельная точка не принадлежит к .

Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве задана непрерывная функция . Тогда множество всех точек , для которых выполняется равенство

, (4)

где - произвольное число, замкнуто.

В самом деле, может случиться, что нет вовсе точек , удовлетворяющих равенству (4), т. е. - пустое множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь не пустое множество и некоторая последовательность точек , принадлежащих к , сходится к точке (если состоит даже из одной точки , то можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих к , а именно, ) . Тогда , и в силу непрерывности в точке .

Но тогда , т. е. множество замкнуто.

Подобным образом множество всех точек , удовлетворяющих неравенству где - произвольное число, а - функция, непрерывная на , замкнуто, потому что из соотношений

вследствие непрерывности на следует: .

В силу сказанного -мерный эллипсоид

(5)

есть замкнутое множество в .

Замкнутым множеством в является также -мерный объемный эллипсоид

. (6)

Однако множество

, (7)

которое естественно назвать -мерным открытым объемным эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуждая, как в случае формулы (3). Это множество открытое (см. § 8.3).

Пусть есть произвольное множество, принадлежащее к , и - произвольная точка . Может быть только три взаимно исключающих друг друга случая:

1. Существует шар (открытый) с центром в точке , полностью принадлежащий к . В этом случае по определению есть внутренняя точка множества (см. § 8.3).

2. Существует шар с центром в , все точки которого не принадлежат к . В этом случае по определению есть внешняя точка множества .

3. В любом шаре с центром в имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к . В этом случае по определению есть граничная точка множества .

Множество всех внутренних точек множества называется открытым ядром . Это – открытое множество (см. § 8.3). Если не пусто, то каждую точку можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к . Если - пустое множество, то оно формально считается открытым.

Множество всех граничных точек называется границей множества . Это – замкнутое множество, потому что, если и , то всякий открытый шар с центром в содержит в себе некоторую точку . Последнюю можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к . Но в имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к , но тогда и в имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к . Следовательно, .

Множество всех внешних точек множества , очевидно, открытое.

Граничные точки могут принадлежать и не принадлежать к множеству .

На рис. 97 множество состоит из точек :

Открытое его ядро из точек

Внешность множества :

Граница множества :

Рис. 97

открытые, и замкнутые.

Итак, если задано произвольное множество , то по отношению к нему пространство можно представить в виде суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекающихся:

Если в качестве множества рассмотреть -мерный замкнутый объемный эллипсоид (6), то есть открытый объемный эллипсоид (7), а есть эллипсоид (5).

Если - открытое множество, то замкнутое, и обратно. В самом деле, пусть - открытое, и пусть , . Если бы точка принадлежала к , то в силу того, что - открытое множество, нашелся бы шар (с центром в ), полностью принадлежащий к . Но это невозможно, потому что в имеются точки , которые принадлежат к . Таким образом, и замкнуто.

Пусть теперь замкнуто и точка . Если бы точка была граничной точкой , то в любом шаре с центром в были бы точки . Тогда можно было бы построить последовательность точек , сходящуюся к . Но тогда вследствие замкнутости точка принадлежала бы к , что противоречит предположению, что . Мы доказали, что произвольная точка есть внутренняя точка , т. е. что - открытое множество.

Множество называется замыканием и обозначается так:

Очевидно,

потому что, с одной стороны, , и, следовательно, , а с другой, если , то либо , и тогда , либо и , но тогда .

Далее, - замкнутое множество, потому что внешность - открытое множество.

Таким образом, чтобы получить , надо добавить к все не принадлежащие к множеству его граничные точки.

Если замкнуто, то

т. е. все граничные точки принадлежат к . Ведь открыто и каждая точка может быть покрыта шаром , не содержащем в себе ни одной точки . Но и обратно, если

то замкнуто, потому что если , и если предположить, что , то получится противоречие, потому что тогда .

Таким образом, для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало его замыкание . В частности, всегда замкнуто, и потому .

Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто.