§ 8.11. Замкнутое множество
Множество
называется ограниченным, если существует число
такое, что
,
иначе говоря, если существует шар в
с центром в нулевой точке, содержащей в себе
.
Множество
называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек
, принадлежащих к
, сходится к точке
следует, что
принадлежит к
.
В этом определении не утверждается, что
содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в
существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит к
.
Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство
тоже, очевидно, замкнуто, но не ограничено.
Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве
, (1)
т. е. множество точек
, удовлетворяющих уравнению (1). Обозначим это множество через
. Это ограниченное множество, потому что для любой его точки
выполняется неравенство
,
где
. Оно также замкнуто, потому что если задать произвольную последовательность точек
, стремящуюся к точке
, то эта последняя тоже принадлежит к
. Ведь из равенства

после перехода к пределу при
следует равенство
,
показывающее, что
.
Рассмотрим теперь более обширное множество
, состоящее из точек
, координаты которых удовлетворяют неравенству
. (2)
Множество
, очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто, потому что если
,
т. е.

и
, то очевидно,
,
т. е.
.
В связи с этим интересно рассмотреть еще третий пример множества
точек
с координатами, удовлетворяющими строгому неравенству
. (3)
Множество
открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто. Возьмем, например, последовательность точек
, где
стремится к числу
, строго возрастая. Тогда
и
. Однако, предельная точка
не принадлежит к
.
Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве
задана непрерывная функция
. Тогда множество
всех точек
, для которых выполняется равенство
, (4)
где
- произвольное число, замкнуто.
В самом деле, может случиться, что нет вовсе точек
, удовлетворяющих равенству (4), т. е.
- пустое множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь
не пустое множество и некоторая последовательность точек
, принадлежащих к
, сходится к точке
(если
состоит даже из одной точки
, то можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих к
, а именно,
) . Тогда
, и в силу непрерывности
в точке
.
.
Но тогда
, т. е. множество
замкнуто.
Подобным образом множество всех точек
, удовлетворяющих неравенству
где
- произвольное число, а
- функция, непрерывная на
, замкнуто, потому что из соотношений

вследствие непрерывности
на
следует:
.
В силу сказанного
-мерный эллипсоид
(5)
есть замкнутое множество в
.
Замкнутым множеством в
является также
-мерный объемный эллипсоид
. (6)
Однако множество
, (7)
которое естественно назвать
-мерным открытым объемным эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуждая, как в случае формулы (3). Это множество открытое (см. § 8.3).
Пусть
есть произвольное множество, принадлежащее к
, и
- произвольная точка 
. Может быть только три взаимно исключающих друг друга случая:
1. Существует шар
(открытый) с центром в точке
, полностью принадлежащий к
. В этом случае
по определению есть внутренняя точка множества
(см. § 8.3).
2. Существует шар
с центром в
, все точки которого не принадлежат к 
. В этом случае
по определению есть внешняя точка множества
.
3. В любом шаре
с центром в
имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к
. В этом случае
по определению есть граничная точка множества
.
Множество
всех внутренних точек множества
называется открытым ядром
. Это – открытое множество (см. § 8.3). Если
не пусто, то каждую точку
можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к
. Если
- пустое множество, то оно формально считается открытым.
Множество
всех граничных точек
называется границей множества
. Это – замкнутое множество, потому что, если
и
, то всякий открытый шар
с центром в
содержит в себе некоторую точку
. Последнюю можно покрыть шаром
с центром в ней, полностью принадлежащим к
. Но в
имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к
, но тогда и в
имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие к
. Следовательно,
.
Множество
всех внешних точек множества
, очевидно, открытое.
Граничные точки
могут принадлежать и не принадлежать к множеству
.
На рис. 97 множество
состоит из точек
:
.
Открытое его ядро из точек
.
Внешность
множества
:
.
Граница
множества
:
.

Рис. 97
открытые,
и
замкнутые.
Итак, если задано произвольное множество
, то по отношению к нему пространство
можно представить в виде суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекающихся:
.
Если в качестве множества
рассмотреть
-мерный замкнутый объемный эллипсоид (6), то
есть открытый объемный эллипсоид (7), а
есть эллипсоид (5).
Если
- открытое множество, то
замкнутое, и обратно. В самом деле, пусть
- открытое, и пусть
,
. Если бы точка
принадлежала к
, то в силу того, что
- открытое множество, нашелся бы шар
(с центром в
), полностью принадлежащий к
. Но это невозможно, потому что в
имеются точки
, которые принадлежат к
. Таким образом,
и
замкнуто.
Пусть теперь
замкнуто и точка
. Если бы точка
была граничной точкой
, то в любом шаре
с центром в
были бы точки
. Тогда можно было бы построить последовательность точек
, сходящуюся к
. Но тогда вследствие замкнутости
точка
принадлежала бы к
, что противоречит предположению, что
. Мы доказали, что произвольная точка
есть внутренняя точка
, т. е. что
- открытое множество.
Множество
называется замыканием
и обозначается так:
.
Очевидно,
,
потому что, с одной стороны,
, и, следовательно,
, а с другой, если
, то либо
, и тогда
, либо
и
, но тогда
.
Далее,
- замкнутое множество, потому что внешность
- открытое множество.
Таким образом, чтобы получить
, надо добавить к
все не принадлежащие к множеству
его граничные точки.
Если
замкнуто, то
,
т. е. все граничные точки
принадлежат к
. Ведь
открыто и каждая точка
может быть покрыта шаром
, не содержащем в себе ни одной точки
. Но и обратно, если
,
то
замкнуто, потому что если
,
и если предположить, что
, то получится противоречие, потому что тогда
.
Таким образом, для того чтобы множество
было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало его замыкание
. В частности,
всегда замкнуто, и потому
.
Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство
являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество
открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто.