§ 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве

Пусть  есть пока произвольное множество пространства , и пусть на  определена функция . Может случиться, что функция  определена не на всей окрестности точки  ( - замыкание ), а только на некоторой ее части. В этом случае возникает понятие предела функции  в точке  по множеству .

Число  называется пределом функции  в точке  по множеству , если

,

какова бы ни была последовательность точек , сходящаяся к .

По определению, функция  непрерывна в точке  по множеству , если имеет место равенство

,                       (1)

какова бы ни была последовательность точек , сходящаяся к .

Приведенное определение непрерывности можно сформулировать и на языке : функция  непрерывна в точке , если для любого  найдется  такое, что

.

Теперь мы будем предполагать, что  есть ограниченное замкнутое множество пространства  и заданная на  функция  непрерывна на этом множестве. В этих предположениях можно доказать следующие замечательные свойства:

1) Функция  ограничена на множестве .

2) Функция  достигает на множестве  максимума и минимума, т. е. существуют в  точки  и  такие, что

.

3) Функция  равномерно непрерывна на множестве , т. е. для всякого  найдется такое , что

для любых , удовлетворяющих неравенствам .

Как мы видим, свойства  обобщают известные уже нам свойства непрерывной функции  от одной переменной , заданной на отрезке . Подчеркнем, что отрезок   есть ограниченное замкнутое одномерное множество. Ведь если какая-либо последовательность точек (чисел) , принадлежащих к отрезку , сходится к некоторой точке (числу) , то эта точка принадлежит к  .

Доказательство свойств  совершенно аналогично доказательству их для отрезка , приведенному в §§ 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме, обобщающей соответствующую теорему Больцано–Вейерштрасса из § 2.9.

Л е м м а. Из всякой ограниченной последовательности точек   можно выделить подпоследовательность  , сходящуюся к некоторой точке:

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность  ограничена, то существует число  такое, что

.

Это показывает, что координаты точек  также ограничены. Первая координата образует ограниченную последовательность  , и на основании одномерной теоремы Больцано–Вейерштрасса найдется подпоследовательность  натуральных чисел и некоторое число  такие, что . Вторую координату  рассмотрим только для найденных натуральных . Подпоследовательность  ограничена, поэтому из нее также можно выбрать подпоследовательность  и число  такие, что . Так как  есть подпоследовательность , то имеет место одновременно  . Продолжая этот процесс, на -м его этапе получим подпоследовательность натуральных чисел  и систему чисел  такие, что одновременно

.

Полагая , получим утверждение леммы.

Д о к а з а т е л ь с т в о   свойства   . Допустим, что  неограничена на замкнутом ограниченном множестве . Тогда для каждого натурального числа  существует точка  такая, что

.                              (2)

Так как множество  ограничено, то последовательность точек  также ограничена и, в силу леммы, из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . По условию множество  замкнуто, поэтому точка . Но в точке  функция  непрерывна и потому

.                             (3)

Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому  может быть только ограниченной на замкнутом ограниченном множестве .

Д о к а з а т е л ь с т в о   с в о й с т в а   . По свойству  непрерывная на замкнутом ограниченном множестве  функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом :

.

Но тогда существует точная верхняя грань  на :

.                               (4)

Число  обладает следующим свойством: Для любого натурального  найдется в множестве  точка  такая, что

.

Подпоследовательность , как принадлежащая к ограниченному замкнутому множеству , ограничена:

,

и потому из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке  . Последнее заключение вытекает из замкнутости множества .

Но функция  непрерывна на множестве , следовательно, она непрерывна в точке , поэтому

.

С другой стороны,

.

Переходя к пределу в этом неравенстве при , получаем

,

т. е.

.

Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке , т. е. функция  достигает в точке  максимума на множестве .

Итак, мы доказали, что существует точка , для которой

.

Другая часть свойства  о минимуме доказывается аналогично.

Д о к а з а т е л ь с т в о    с в о й с т в а   . Допустим, что свойство неверно. Тогда существует такое , что для любого  найдется пара точек , , удовлетворяющих неравенству

,

для которых

.

Зададим теперь последовательность положительных чисел  при . Для каждого , найдутся точки  такие, что

.                (6)

Так как точки последовательности  принадлежат к ограниченному множеству , то эта последовательность ограничена, и из нее, по лемме, можно выделить подпоследовательность  , сходящуюся к некоторой точке  (в силу замкнутости множества ).

Так как  при , то подпоследовательность  также сходится к точке , потому что

.

По условию функция  непрерывна на  и, следовательно, непрерывна в точке .

Поэтому

.

Теперь, переходя к пределу в (5) при , получаем

и мы пришли к противоречию: .