§ 8.13. Экстремумы
Пусть на области (открытое связное множество)
задана функция
и
- точка
. Говорят, что функция
имеет локальный максимум (минимум) в точке
, если
окрестность этой точки такая, что
из этой окрестности имеет место неравенство
. (1)
Точку
будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции
максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимум и минимум объединяются общим названием «локальный экстремум». Из определения экстремума вытекает, что в достаточно малой окрестности точки
приращение функции
не меняет знака:
в случае локального минимума
;
в случае локального максимума
.
Т е о р е м а 1. (необходимое условие экстремума). Пусть функция
имеет локальный экстремум в точке
. Тогда, если существуют частные производные первого порядка 
в точке
, то все они обращаются в нуль в этой точке:
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что
. Зафиксируем переменные
. Тогда получим функцию
от одного переменного
причем эта функция имеет локальный экстремум в точке
. Поэтому в силу необходимого условия экстремума для функции от одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменной
должна быть равна нулю в точке
. Но эта производная является частной производной функции
по переменной
в точке
, т. е.
.
Другие случаи рассматриваются аналогично.
С л е д с т в и е. Если функция
имеет экстремум в точке
и дифференцируема в точке
, то
или
.
Данное следствие вытекает из определения дифференциала и градиента.
З а м е ч а н и е. Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке
был экстремум функции
.
Например, функция
имеет частные производные
,
, которые обращаются в нуль в точке
. Однако точка
не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки
принимает как положительные, так и отрицательные значения.
В дальнейшем точки, в которых существуют непрерывные частные производные от
, удовлетворяющие системе (2), будем называть стационарными точками.
Перейдем к получению достаточных условий экстремума. Пусть функция
имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, и пусть
- стационарная точка, т. е.
. Тогда, разлагая функцию
по формуле Тейлора в окрестности точки
, получим



,
где
при
.
Так как вторые производные непрерывны, то величины
, зависящие от
, стремятся к нулю при
, но тогда и
при
. Поэтому, учитывая, что
, получаем
.
Итак, мы доказали, что
, (3)
где

и
.
Выражение
(4)
есть квадратичная форма относительно
. По знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3) знак
для достаточно малых
.
Справедливо следующее утверждение:
1) Если форма
строго положительно определенна, т. е.
для всех
, то функция
имеет в точке
локальный минимум.
2) Если форма
строго отрицательно определенна, т. е.
для всех
, то функция
имеет в точке
локальный максимум.
3) Если
для всех
или
для всех
и имеется
, для которого
, то вопрос о локальном экстремуме функции
в точке
остается открытым.
4) Если форма
не определенна по знаку, т. е. существуют векторы
и
, для которых
, то функция
в точке
не имеет локального экстремума.
Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е н и я 1). Равенство (3) запишем следующим образом:

, (5)
где мы ввели новые переменные
.
Легко видеть, что
.
Таким образом, точка
при любых
находится на поверхности
-мерного единичного шара. Функция
непрерывна на этой поверхности, представляющей собой ограниченное замкнутое множество, и по условию положительна на этой поверхности. Но тогда
достигает своего минимума
в некоторой точке этой поверхности, который больше нуля
(см. § 8.12, свойство2)). Так как
при
, то при достаточно малом
.
Следовательно,

и функция
имеет локальный минимум в точке
.
Утверждение
доказывается аналогично.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. В данном случае форма
для некоторого
обращается в нуль, но тогда для соответствующего
значение
и, следовательно,
. Но знак
неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет
в
экстремум или нет.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. Здесь опять удобно обратиться к равенству (5). В этом случае по условию существует точка
, для которой форма положительна и существует точка
, для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек
будут выполняться неравенства
, и при малых
окажется, что
, т. е. в любой малой окрестности
имеются точки
и
, для которых
и
, а это означает, что заведомо нет экстремума.
Известны условия (Сильвестра), выражаемые на языке коэффициентов
, при которых квадратичная форма (4) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1) - 4). Здесь мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра критерии в случае функции
от двух переменных.
Если
и

(в этом случае форма (4) строго положительно определенна), то функция
имеет локальный минимум в точке
.
Если

(в этом случае форма (4) строго отрицательно определенна), то функция
имеет локальный максимум в точке
.
Если
, то
, как квадратичная форма, не является определенной по знаку при изменении
, поэтому в этом случае
также не сохраняет знак в любой окрестности точки
, и, следовательно, экстремум в точке
отсутствует.
Если выражение
, то вопрос об экстремуме остается открытым.
П р и м е р 1. Для функции
точки
являются стационарными. Исследуем их на экстремум. Имеем
.
Таким образом, для точки
,
. Поэтому в точке
наша функция имеет локальный минимум. Для точки
:
, поэтому функция экстремума в точке
не имеет.
П р и м е р 2. Для функции
точка
является стационарной, и легко видеть, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Между тем
, т. е.
и
.
П р и м е р 3. Для функции
в стационарной точке

, т. е. снова
, но в данном случае функция
в точке
экстремума не имеет, так как на прямой
приращение
меняет знак при переходе через точку
.