§ 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция  на множестве , представляющем собой замыкание ограниченной области, т. е. области, к которой присоединена граница . Тогда  достигает максимума и минимума в некоторых точках  (см. § 8.12, свойство 3)). Эти точки могут быть внутренними и граничными. Если точка  внутренняя, то функция  имеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, необходимо найти все стационарные точки, вычислить значение функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе . Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на .

Если  и  является плоской непрерывной кривой , , то вдоль этой границы наша функция является функцией от одного переменного : . Находить наибольшее значение этой функции мы уже умеем.

П р и м е р. Найти наибольшее значение функции  в замкнутой области , ограниченной прямыми:  (рис. 98).

Рис. 98

Р е ш е н и е. , т. е. стационарных точек нет. Исследуем функцию  на .

1) Пусть , тогда , . На  функция  стационарных точек также не имеет,  и .

2) Пусть , тогда , . Далее,  при ,  т. е.  - стационарная точка. Вычисляя значение функции в этой точке и на границе в точках  и , получим: .

3) Пусть ,  тогда . Так как  в точке , то в нашем промежутке  нет стационарных точек. Далее .

Сравнивая все наибольшие значения функции по частям границы, мы видим, что наибольшее значение функции  на  равно 3 и достигается в точке .