§ 8.15. Теорема существования неявной функции
Зададим произвольную функцию
от двух переменных
и
. Приравняем ее к нулю:
. (1)
Множество всех точек
, для которых выполняется равенство (1), обозначим через
. Пусть
, т. е.
.
Если не накладывать никаких условий на
, то множество
может иметь самую различную природу. Например, в случае
множество
состоит из одной единственной точки
, а в случае
множество
пусто, в случае же
есть пара прямых, проходящих через
. Однако часто имеют место случаи, когда
, по крайней мере в достаточно малой окрестности
, представляет собой кривую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией

(таким образом,
есть функция, определяемая неявно уравнением (1), см. также § 3.1).
Возникает вопрос, как по свойствам функции
узнать, что имеет место именно этот случай?
Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос.
Т е о р е м а 1. Пусть задано уравнение
, (1)
удовлетворяющее следующим свойствам.
Функция
определена на некоторой двумерной окрестности
точки
плоскости
и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом
(2)
и
. Пусть, далее,
есть множество всех точек
, удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точка
).
Тогда, каково бы ни было
, найдется прямоугольник
, (3)
принадлежащий
такой, что множество
описывается непрерывно дифференцируемой функцией (неявной функцией)
, (4)
. (5)
Другими словами, прямоугольник
обладает тем свойством, что на его проекции
на ось
можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), являющуюся решением уравнения (1), т. е. удовлетворяющую уравнению (1)
. (6)
График ее полностью принадлежит
. Эта функция единственна в том смысле, что любая точка
имеет координаты, связанные уравнением (4). В частности,
, потому что
(рис. 99).

Рис. 99
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Пусть для определенности
. Так как
непрерывна на
, то существует окрестность точки
, которую мы снова обозначим через
, такая, что в ней
. Введем замкнутый прямоугольник
.
Тогда
на
и
. (7)
Функция
, рассматриваемая на отрезке
, как функция от
непрерывна, строго возрастает и обращается в нуль в точке
(по условию теоремы
). Значит,
.
Вследствие непрерывности
найдется достаточно малое число
,
, такое, что
.
Обозначим через
открытый прямоугольник. Очевидно,
и
есть проекция
на ось
.
Рассмотрим теперь для произвольного и фиксированного
функцию
как функцию от
на отрезке
. Она непрерывна, строго возрастает
и имеет противоположные знаки на его концах. Но тогда по теореме о промежуточном значении существует и притом единственное число
, принадлежащее интервалу
, мы его обозначим через
, для которого
.
Этим доказано существование определенной на
функции
, удовлетворяющей уравнению (6).
Докажем, что функция
непрерывна на
. Пусть
. Тогда на основании формулы Тейлора (§ 8.10) имеем:

,
где
. Отсюда
, (8)
где точка
. В силу условия теоремы на замкнутом прямоугольнике
, а следовательно, и на прямоугольнике
, функция
ограничена
, а по (7) функция
ограничена снизу числом
, поэтому из (8) получаем, что
,
т. е.
при
, что означает непрерывность функции
в точке
. Так как точка
- произвольная точка
, то функция
непрерывна на
.
Теперь, переходя к пределу в (8) при
, получаем (по доказанному
также
)
. (9)
Мы доказали существование производной
в точке
и равенство
. (10)
Непрерывность
непосредственно видна из (10), потому что
и
непрерывны на прямоугольнике
, а кривая
не выходит за его пределы и является непрерывной, как мы доказали выше.
Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1, в случае, когда неявная функция зависит от
переменных.
Т е о р е м а 1’. Пусть задано уравнение
, (1’)
удовлетворяющее следующим условиям.
Функция
определена на некоторой окрестности
точки
пространства
точек
и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом
. (2’)
Пусть, далее,
есть множество всех точек,
, удовлетворяющих уравнению (1’) (в частности,
).
Тогда, каково бы ни было
, найдется в
прямоугольник
, (3’)
принадлежащий
, такой, что множество
описывается непрерывно дифференцируемой функцией (т. е. имеющей непрерывные частные производные)
, (4’)
(5’)
Частные производные от функции
вычисляются по формуле
. (10’)
Если функция
(в случае теорем 1 и 1’) имеет непрерывные производные более высокого порядка
, то и неявная функция имеет производные порядка
, которые можно найти, дифференцируя
раз формулу (10) или (10’).
П р и м е р. Пусть известно, что функция
, рассмотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные производные второго порядка. Будем исходить из равенства (10). Дифференцируя его по
, получим
.
Мы использовали формулу дифференцирования сложной функции.