§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль
Пусть поверхность
задана уравнением
(1)
в неявном виде. Будем считать, что
и в некоторой окрестности точки
функция
имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(2)
Мы пишем
вместо
.
Для определенности предположим, что
. Тогда на основании теоремы о неявной функции существует окрестность точки
, в которой поверхность
описывается явно непрерывно дифференцируемой функцией
. Уравнение касательной плоскости к
в точке
, как мы знаем, имеет вид
,
где
.
В силу этого уравнения касательной плоскости к
в точке
запишется так:
, (3)
а уравнение нормали к
в точке
- так:
. (4)
Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что
или
. В этих случаях в окрестности
поверхность
описывается явно соответственно уравнениями
.
Мы видим, что при условии (2) поверхность
в любой точке
имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки
. Такую поверхность называют гладкой поверхностью
.
Другое дело, если
. В этом случае нельзя гарантировать, что в точке
существует касательная плоскость к
. Она может существовать, а может и не существовать.
П р и м е р. Уравнение
(5)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью
(рис. 100).
Левая часть уравнения (5) имеет частные производные
,
одновременно не равные нулю, если точка
. В любой такой точке, которую обозначим через
, касательная плоскость определяется уравнением
.
В начале же координат касательная плоскость к нашей конической поверхности не существует. В этом случае
.

Рис. 100
Точки
, лежащие на поверхности
, в которых
, называют особыми точками поверхности
.
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию
(6)
на некоторой области
точек
. Пусть в точке
ее значение равно числу
:
.
Если частные производные от
в точке
одновременно не равны нулю, то уравнение
определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверхность
, называемую поверхностью уровня функции (6).
Касательная плоскость к
в точке
имеет уравнение
.
Нормаль к
в точке
, т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
.
Мы видим, что вектор

направлен по нормали к поверхности
.
Уравнение
, где функция
имеет непрерывные частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность
. Положим,
. Если в точке
частные производные
,
одновременно не равны нулю, то уравнение
определяет в окрестности точки некоторую гладкую кривую
(линию уровня функции
).
Уравнение касательной к
в
имеет вид
.
Вектор
направлен по нормали к
(в плоскости
) в точке
.