§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль

Пусть поверхность  задана уравнением

                                    (1)

в неявном виде. Будем считать, что  и в некоторой окрестности точки  функция  имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

                 (2)

Мы пишем  вместо .

Для определенности предположим, что . Тогда на основании теоремы о неявной функции  существует окрестность точки , в которой поверхность  описывается явно непрерывно дифференцируемой функцией . Уравнение касательной плоскости к  в точке , как мы знаем, имеет вид

,

где

.

В силу этого уравнения касательной плоскости к  в точке  запишется так:

,                (3)

а уравнение нормали к  в точке  - так:

.                                   (4)

Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что  или . В этих случаях в окрестности  поверхность  описывается явно соответственно уравнениями

.

Мы видим, что при условии (2) поверхность  в любой точке  имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки . Такую поверхность называют гладкой поверхностью .

Другое дело, если . В этом случае нельзя гарантировать, что в точке  существует касательная плоскость к . Она может существовать, а может и не существовать.

П р и м е р. Уравнение

                        (5)    

определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью  (рис. 100).

Левая часть уравнения (5) имеет частные производные

,

одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением

.

В начале же координат касательная плоскость к нашей конической поверхности не существует. В этом случае .

Рис. 100

Точки , лежащие на поверхности , в которых , называют особыми точками поверхности .

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию

                                    (6)

на некоторой области  точек . Пусть в точке  ее значение равно числу :

.

Если частные производные от  в точке  одновременно не равны нулю, то уравнение  определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверхность , называемую поверхностью уровня функции (6).

Касательная плоскость к  в точке  имеет уравнение

.

Нормаль к  в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

.

Мы видим, что вектор

направлен по нормали к поверхности .

Уравнение , где функция  имеет непрерывные частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность . Положим, . Если в точке  частные производные ,  одновременно не равны нулю, то уравнение  определяет в окрестности точки некоторую гладкую кривую  (линию уровня функции ).

Уравнение касательной к  в  имеет вид

.

Вектор  направлен по нормали к  (в плоскости ) в точке .