Глава 9. Ряды
§ 9.1. Понятие ряда
Выражение
, (1)
где числа
(члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов
, называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:
. (2)
Это чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1).
Числа

называются
-ми частичными суммами ряда (1).
По определению ряд (1) сходится, если существует
.
В этом случае пишут
(3)
и называют
суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число
. Говорят еще, что ряд (3) сходится к
.
З а м е ч а н и е. Равенство
, где
и
- комплексные, определяется так же, как для действительных
, т. е. оно обозначает, что
. Здесь
- модуль разности двух комплексных чисел
. Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных
равен соответственно сумме, разности, произведению частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в случае частного
.
В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
нашлось такое
, чтобы для всех натуральных
и любого натурального
выполнялось неравенство
.
Отсюда в частности (полагая
), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:
. (4)
Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров.
Рассмотрим еще ряд
(5)
Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна
.
Ряд (5) называют остатком или остаточным членом ряда (1).
Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность
, поэтому, если эта последовательность ограничена
,
то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству
.
Если же она неограниченна, то ряд расходится:
.
В этом случае пишут
.
П р и м е р. Ряд
(6)
имеет (при
) частичную сумму
. Если
, то
и
. Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную
- на открытом круге
. Если же
, то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший единицы
, не стремится к нулю при
.