Глава 9. Ряды

§ 9.1. Понятие ряда

Выражение

,                                  (1)

где числа  (члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов , называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:

.                           (2)

Это чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1).

Числа

называются -ми частичными суммами ряда (1).

По определению ряд (1) сходится, если существует

.

В этом случае пишут

            (3)

и называют  суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число . Говорят еще, что ряд (3) сходится к .

З а м е ч а н и е. Равенство , где  и  - комплексные, определяется так же, как для действительных , т. е. оно обозначает, что   . Здесь  - модуль разности двух комплексных чисел . Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных  равен соответственно сумме, разности, произведению частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в случае частного .

В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого  нашлось такое , чтобы для всех натуральных  и любого натурального  выполнялось неравенство

.

Отсюда в частности (полагая ), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:

.                                 (4)

Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров.

Рассмотрим еще ряд

                         (5)

Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна

.

Ряд (5) называют остатком или остаточным членом ряда (1).

Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность , поэтому, если эта последовательность ограничена

,

то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству

.

Если же она неограниченна, то ряд расходится:

.

В этом случае пишут

.

П р и м е р.   Ряд

                           (6)

имеет (при ) частичную сумму . Если , то  и . Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную  - на открытом круге . Если же , то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший единицы , не стремится к нулю при .