§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд

Рассмотрим интеграл

,                                  (1)

имеющий единственную особенность в точке . Пусть

.

Тогда можно определить ряд

,               (2)

-й член которого равен

.

Т е о р е м а  1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство

.                          (3)

Действительно,

.

Если  неотрицательна на , то и, наоборот, из сходимости ряда (2) следует сходимость интеграла (1). В самом деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, равную . Для любого , где , можно указать такое , что . Поэтому, учитывая, что ,

,

т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3).

Если же функция  не сохраняет знак на , то из сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла.

Например, ряд

сходится, интеграл же  расходится потому, что функция от  

не стремится к пределу при .

Т е о р е м а  2. Если функция  непрерывна и не возрастает на , то интеграл

                                 (3’)

и ряд

                  (4)

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеют место неравенства

.

Суммируя их по , получим

.

Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании  монотонно не убывают, следует утверждение теоремы.

Из доказанной теоремы следует, что ряд

                         (5)

сходится при  и расходится при  потому, что функция  при  непрерывна и монотонно убывает на , а

Ряд (5) при  может служить примером расходящегося ряда с общим членом  , стремящимся к нулю.

В случае  непосредственно видно, что ряд (5) расходится (общий член не стремится к нулю).