§ 9.2. Несобственный интеграл и рядРассмотрим интеграл
имеющий единственную особенность в точке
Тогда можно определить ряд
Т е о р е м а 1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство
Действительно,
Если
т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3). Если же функция Например, ряд сходится, интеграл же не стремится к пределу при Т е о р е м а 2. Если функция
и ряд
одновременно сходятся или одновременно расходятся. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеют место неравенства
Суммируя их по
Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании Из доказанной теоремы следует, что ряд
сходится при Ряд (5) при В случае
|