§ 9.3. Действия с рядами

Если ряды  и  сходятся и  - число, то ряды  также сходятся и

,                                       (1)

. (2)

Действительно,

,

.

Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (2), вообще не следует сходимость  каждого из рядов, стоящих справа в (2). Например, ряд

                              (3)

сходится (все его члены равны нулю), но выражение  не имеет смысла – ряды, входящие в него, расходятся.

Если ряд

                         (4)

сходится и имеет сумму , то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (однако, не переставляя их), например, так:

,

образуя  новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоящих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к , потому что его частичные суммы образуют подпоследовательность сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).

Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, например, после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3) получается расходящийся ряд . Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины его суммы.