§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами

Т е о р е м а  1 (признак сравнения рядов). Пусть даны два ряда

с неотрицательными членами.

а) Если , то из сходимости ряда 2) следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует расходимость ряда 2).

б) Если

,                                (1)

то ряды 1)  и 2) одновременно сходятся и расходятся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд 2) сходится и  - его сумма. Тогда

,

т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма  удовлетворяет неравенству .

Пусть теперь ряд 1) расходится: тогда (см. § 9.1) его частичная сумма неограниченно возрастает вместе с , что в силу неравенства

влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е. расходимость последнего. Этим доказано утверждение а).

Пусть теперь имеет место (1). Зададим положительное число , удовлетворяющее неравенству . Из (1) следуют неравенства

,

верные при достаточно большом , или неравенства

.                   (2)

Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд , и на основании второго неравенства (2), сходится ряд , а тогда и ряд 1). Обратно, сходимость ряда 1) влечет сходимость ряда  и, следовательно, сходимость ряда 2).

Но тогда из расходимости одного ряда вытекает расходимость другого. Этим доказано утверждение б).

Т е о р е м а   2 (признаки Даламбера). Пусть дан ряд

                                 (3)

с положительными членами.

а) Если

,                  (4)

то ряд (3) сходится; если же

,                        (5)

то расходится.

б) Если

,                                               (6)

то ряд (3) сходится при  и расходится при .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

,                   (7)

поэтому из (4) следует, что

,

и так как ряд  сходится, то вместе с ним сходится и ряд (3). Из (5) в силу (7) следует, что , и так как , то ряд (3) расходится (общий член не стремится к нулю).

Если теперь выполняется свойство (6) и , то для положительного  такого, что ,  , где  достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае ряд  сходится, а вместе с ним сходится и ряд (3).  Из свойства же (6) при  вытекает, что  при достаточно большом , и тогда в силу признака (5) ряд  расходится, а вместе с ним расходится и ряд (3).

Т е о р е м а   3. (признаки Коши). Пусть дан ряд (3) с положительными членами.

а) Если

,                       (8)

то ряд (3) сходится; если же

,                              (9)

то ряд (3) расходится.

б) Если

,                                                (10)

то ряд (3) сходится при  и расходится при .

в) Если

,                                                (11)

то ряд (3) сходится при  и расходится при , и при этом члены ряда не ограниченны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства (8) следует, что , и так как в этом случае ряд  сходится, то сходится и ряд (3). Из неравенства (9) следует, что ,  т. е. не выполняется необходимое условие сходимости, и поэтому ряд (3) расходится.

Далее из свойства (10) при  следует, что

                     (12)

при достаточно большом ,  откуда

,

и так как ряд  сходится, то сходится и ряд , а вместе с ним ряд (3). Из свойства (10) при  вытекает, что , т. е.  при достаточно большом , откуда следует расходимость ряда (3).

Из свойства (11) (так же как из свойства (10)) при  следует (12), откуда, как уже доказано, вытекает сходимость ряда (3).

Наконец, пусть выполняется свойство (11) при . Подберем конечное число  так, чтобы . На основании свойства верхнего предела (см. § 2.10) существует подпоследовательность   такая, что

,

т. е.

.

Но тогда члены не ограничены и ряд (3) расходится.

З а м е ч а н и е. Ряд с общим членом  сходится при  и расходится при  (см. § 9.2, (5)).

При этом в обоих случаях

,                                     (13)

так же как

.                                    (14)

Таким образом, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды с признаками (13) и (14).

Ряд  называется гармоническим рядом (он расходится, см. § 9.2, (5)).

П р и м е р ы.

Ряд 1) сходится . При  это очевидно, а при  это следует из того, что . Более того, мы знаем, что этот ряд является рядом Тейлора функции  и сходится   к сумме, равной  .

Ряд же 2) сходится при  и расходится для , потому что при  для него ,  при  см. выше замечание. Случай  тривиален.

Ряды 3) и 4) расходятся в силу теоремы 1 § 9.4, потому что  и  («  »  - знак асимптотического равенства, см. § 3.9,  § 3.10), а гармонический ряд расходится.

Ряд 5) сходится при  и расходится при , потому что для него   . При  он тоже расходится – общий член ряда в этом случае равен 1.

Т е о р е м а   4. Пусть ряд

                                (15)

с неотрицательными членами сходится и имеет сумму . Тогда полученный в результате перестановки его членов новый (заново перенумерованный) ряд

                              (16)

также сходится и имеет ту же сумму .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

- частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде (15) под некоторыми номерами . Пусть  - наибольшее число среди них и  есть -я частичная сумма ряда (15). Очевидно, , и так как  произвольно, то ряд (16) сходится и имеет сумму . Но теперь приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды  (15) и (16) местами, и получить, что . Поэтому .