§ 9.5. Ряд Лейбница

Ряд вида

,                                   (1)

где числа , монотонно убывая, стремятся к нулю , называется  рядом Лейбница.

Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма .

В самом деле, частичная его сумма  с нечетным номером  может быть записана в виде

,

откуда, очевидно, следует, что она ограничена сверху числом :

.

С другой стороны, она может быть записана в виде

,

откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком случае существует предел

.

Теорема доказана.

П р и м е р. Ряд  есть, очевидно, ряд Лейбница. Таким образом, он сходится и его сумма  не превышает 1 (на самом деле, , см. § 4.16, п. 4).