§ 9.6. Абсолютно сходящиеся рядыРяд с комплексными членами
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
модулей его членов. Абсолютно сходящийся ряд сходится. В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд
Т е о р е м а. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем теорему в случае, когда члены ряда Положим (для действительных
числа
Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,
(с неотрицательными числами). Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его – действительные числа Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид
Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе – из § 9.3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 9.3, (2), и, наконец, пятое – потому, что Пусть теперь
Теорема доказана полностью.
|