§ 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами

Из предыдущего параграфа мы знаем, что абсолютно сходящийся ряд с действительными или комплексными членами после перестановки членов остается абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму.

Оказывается, это свойство – не менять сумму после перестановки членов – присуще только абсолютно сходящимся рядам.

Рассмотрим ряд

                                (1)

с действительными членами сходящийся, но не абсолютно.

Можно доказать, что, каково бы ни было число , конечное или бесконечное, т. е. удовлетворяющее неравенствам , существует перестановка членов ряда (1), в результате которой получится ряд, сходящийся к . Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно сходящимися.

Сделаем еще следующее замечание. Пусть задан ряд (1) из действительных чисел, условно сходящийся. В ряде (1) имеется бесконечное множество положительных и отрицательных членов, и, очевидно, они в отдельности образуют расходящиеся ряды (в противном случае исходный ряд был бы абсолютно сходящимся).