§ 9.8. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций , определенных на некотором множестве точек  -мерного пространства. Они могут принимать значения . Можно считать также, что  - комплексные точки , пробегающие некоторое множество  точек комплексной плоскости, и тогда  - функции комплексной переменной .

Пусть для каждого значения  последовательность  стремится к числу  (функции от ).

По определению последовательность  сходится (стремится) к  равномерно на , если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел   (не зависящих от ) такая, что

.                         (1)

Это определение эквивалентно следующему: для любого  найдется  такое, что при

.

В самом деле, если выполнено первое определение, то для любого  найдется  такое, что

,

т. е.

.             (2)

Обратно, по второму определению для любого  найдется  так, что выполняется (2). Но тогда

.            (3)

Мы видим, что неотрицательные числа  не зависят от  и , т. е. выполняется первое определение.

В первом определении в качестве  можно взять точную верхнюю грань

.

Если она стремится к нулю при , то  стремится к  равномерно на , если не стремится, то не равномерно.

Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность  равномерно сходится на , если для любого  найдется такое , что выполняется неравенство

                                 (4)

при любых  и  и для всех .

Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого  найдется такое , что для  и любых  выполняется неравенство

,

т. е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения  выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции . Зададим теперь  и подберем  так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), где  фиксировано, перейдем к пределу при ; в результате получим

.

И так как  можно взять любым, то мы получим второе определение.

Изобразим в прямоугольной системе координат график функции  (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке  (рис. 103). Зададим  и определим -полоску толщиной , окружающую график. Произвольная точка -полоски с абсциссой  имеет ординату , удовлетворяющую неравенствам

.

Рис. 103

Если последовательность функций  стремится к  равномерно на , то по заданному  можно указать такое , что для любого  график  окажется внутри - полоски. Если же  стремится к  неравномерно на , то, хотя для каждого значения   стремится к ,  все же  невозможно указать такое , чтобы для каждого  все графики  попали в -полоску (см. ниже пример 3).

Нетрудно видеть, что если  - число, а  и  - две последовательности функций, равномерно сходящиеся на , то последовательности  и   также равномерно сходятся на . Нетрудно также видеть, что если последовательность функций равномерно сходится на , то она равномерно сходится и на . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Заметим, что каждой последовательности функций  соответствует ряд

,

-е частичные суммы которого соответственно равны .

Пусть теперь задан ряд

,                         (5)

члены которого, вообще говоря, комплексные функции от , где  - по-прежнему некоторое множество точек -мерного пространства или комплексной плоскости.

По определению ряд (5) равномерно сходится на множестве  к функции , если последовательность  его частичных сумм равномерно сходится на  к .

В частности, определение равномерной сходимости ряда, очевидно, можно высказать так: ряд (5) равномерно сходится на множестве , если для любого  найдется такое , что для  и  и всякого  выполняется неравенство

.

Следующая теорема дает важный критерий равномерной сходимости ряда.

Т е о р е м а  1 (Вейерштрасса). Если члены ряда (5) удовлетворяют неравенствам

,                      (6)

где , а  - числа (не зависящие от ), и если ряд с членами  сходится, то ряд (5) сходится на множестве  абсолютно и равномерно.

В самом деле, из сходимости ряда с членами  и из (6) следует, что для любого  найдется такое , что при любых  и  и произвольном

,

а это и значит, что ряд (5) равномерно сходится на . Абсолютная его сходимость очевидна.

Т е о р е м а  2. Если последовательность функций  равномерно сходится на множестве  к функции  и  непрерывны в точке  (относительно ), то   также  непрерывна в .

На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно сходящегося на  ряда функций, непрерывных в точке , есть непрерывная функция в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим  и подберем натуральное  так, чтобы  для всех , что в силу равномерной сходимости  к  возможно. Имеем, далее,

                 (7)

для любой точки . Но функция  непрерывна в , и можно указать такое , что  для всех  таких, что ; поэтому из (7) следует, что для таких

,

и теорема доказана.

П р и м е р  1. Ряд

               (8)

сходится на отрезке , но не равномерно. На отрезке , где , он сходится равномерно.

В самом деле, -я частичная сумма ряда (8)

Абсолютная величина разности  (остатка ряда) равна

                       (9)

На отрезке , где ,

.

Правая часть этого неравенства не зависит от  и стремится к нулю при . Это показывает, что ряд (8) равномерно сходится на отрезке , где .

С другой стороны, из равенства (9) видно, что

.

Таким образом, число 1 есть самое малое число, превышающее  для всех . Но постоянное число 1 не стремится к нулю при , поэтому ряд (8) хотя и сходится на , но неравномерно.

П р и м е р   2. Ряд

                    (10)

имеет -й член, удовлетворяющий неравенству

,

и при этом ряд

сходится. Поэтому по теореме Вейерштрасса ряд (10) равномерно сходится на всей оси .

Так как члены ряда (10) суть непрерывные функции, то по теореме 2 сумма этого ряда есть непрерывная функция.

П р и м е р  3. На рис. 104 изображена функция  . Она линейна на каждом из отрезков  в отдельности. Кроме того,  и  на , . Очевидно, , потому что , а если , то  .

Далее, очевидно, что

,

и при этом постоянное число 1 не стремится к нулю при , т. е.  на , но неравномерно.

Рис. 104

На рис. 104 пунктиром изображена -полоска, окружающая предельную кривую  . При любом  график функции  не попадает весь в -полоску. Это не мешает тому, что .

Приведем еще более тонкие признаки равномерной сходимости рядов, основанные на применении к ряду так называемого преобразования Абеля (аналога операции интегрирования по частям).

Рассмотрим ряд

,                           (11)

где  - функции от  (или постоянные числа). Положим    и к усеченной сумме ряда (11) применим преобразование Абеля:

.                          (12)

Теперь легко установить следующие два критерия равномерной сходимости (в случае постоянных  - просто сходимости) ряда (11).

Т е о р е м а  3 (признак Дирихле равномерной сходимости ряда). Если частичные суммы ряда

                              (13)

ограничены в совокупности, а действительная функция  (с возрастанием ) равномерно (относительно ) на  стремится к нулю, убывая, то ряд (11) сходится равномерно.

В самом деле, пусть константа  превышает модули частных (частичных) сумм  ряда (13). Тогда при любых  и

.

Поэтому в силу (12) и того факта, что  равномерно стремится к нулю убывая, выполняется неравенство

для любых  и  и любых , если только  достаточно велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится. Последнее неравенство в этой цепи верно для всех , в силу равномерного стремления  к нулю.

Т е о р е м а   4 (признак Абеля равномерной сходимости ряда). Если действительные функции  не возрастают (с возрастанием ) и ограничены в совокупности, а ряд (13) равномерно сходится на , то и ряд (11) сходится равномерно на .

В самом деле, пусть  (функции  могут быть и отрицательными!). В силу равномерной сходимости ряда (13) для любого  можно указать такое , что  для любых  и . Поэтому в силу (12) и монотонности  для любых  и .

,

т. е. ряд (11) равномерно сходится.

П р и м е р   4. Ряды

                    (14)

при  равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси , потому что абсолютные величины их -х членов не превышают , а при  ряд  сходится. Мы применили признак Вейерштрасса. При  он уже не применим, так как в этом случае ряд  расходится. Однако при  наши ряды равномерно сходятся на отрезке , каково бы ни было , где . В самом деле, частные суммы рядов

соответственно равны

.    (15)

В этом можно убедиться, если частные суммы рассматриваемых рядов умножить и разделить на  и в числителе произвести соответствующие тригонометрические преобразования. Функции (15) ограничены в совокупности на

;

кроме того,  и , поэтому по признаку Дирихле ряды (14) равномерно сходятся на .