§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов
Т е о р е м а 1. Пусть на отрезке
задана последовательность
(комплекснозначных) непрерывных функций, сходящаяся к функции
. Если сходимость равномерна на
, то
(1)
равномерно на
. В частности (при
),
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует (см. § 9.8, теорема 2), что предельная функция
непрерывна на
и
.
Поэтому
,
где правая часть не зависит от
и стремится к нулю при
, а это доказывает теорему.
Т е о р е м а 2. Равномерно сходящийся на отрезке
ряд (комплекснозначных) непрерывных функций
(3)
можно почленно интегрировать
:
. (4)
Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на
.
В частности,
. (5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что
, как сумма равномерно сходящегося на отрезке
ряда непрерывных функций, есть, в свою очередь, непрерывная функция на
. Пусть
.
Так как ряд (3) равномерно сходится к
, то
.
Поэтому

,
и теорема доказана.
Т е о р е м а 3. Пусть на отрезке
задан ряд
(6)
(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную производную.
Если ряд (6) сходится в некоторой точке
и, кроме того, формально продифференцированный ряд
(7)
равномерно сходится на
, то ряд (6) равномерно сходится на
и производная от его суммы
есть сумма ряда (7).
Таким образом,
, (8)
. (9)
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию ряд (7) равномерно сходится на
и его члены – непрерывные функции на
, поэтому его сумма, которую мы обозначим пока через
, непрерывная функция на
. На основании теоремы 2 ряд (7) можно интегрировать почленно и получить равномерно сходящийся на
ряд
.
Применяя теорему Ньютона-Лейбница, будем иметь
. (10)
Ряд справа в (10) с членами, равными функциям в квадратных скобках, равномерно сходится на
, ряд
по условию сходится, и так как его члены постоянны, то его надо рассматривать как равномерно сходящийся ряд на
; но тогда ряд
также сходится, и притом равномерно на
, как сумма двух равномерно сходящихся рядов; обозначим его сумму через
. Тогда равенство (10) можно переписать так:
.
Но функция
имеет производную, равную
, и теорема доказана.
П р и м е р 1. Ряд
(11)
при
равномерно сходится на всей действительной оси по признаку Вейерштрасса потому, что

и
.
Продифференцируем ряд (11) формально:
(12)
Этот ряд сходится равномерно на
уже при
. Но тогда при 
. (13)
Рассмотрим случай
. В этом случае признак Вейерштрасса к ряду (12) неприменим. Однако ряд (12) равномерно сходится на отрезке
при любом
(см. § 9.8, пример 4). Так как к тому же сходится на этом отрезке и ряд (11), то можно утверждать на основании теоремы 3, что имеет место равенство (13) на отрезке
, как бы ни было мало
, но тогда, очевидно, и на интервале
.
Если учесть, что члены ряда (11) имеют период
, то мы доказали, что при условии
ряд (11) законно дифференцировать почленно для всех значений
, исключая точки
.
П р и м е р 2. Пусть функция
является непрерывной на
, линейной на каждом из отрезков
и
и такой, что
,
на
, где
- любая последовательность чисел (рис. 105). Тогда, очевидно,
для всех
, а
.
Очевидно, далее, что
,
поэтому последовательность
равномерно сходится тогда и только тогда, когда
. Равенство
(14)
выполняется тогда и только тогда, когда
.

Рис. 105
Мы видим, что из равномерной сходимости
к
на
(т. е. когда
) следует сходимость интегралов (14), что согласуется с теоремой 2. Но последовательность
может сходиться неравномерно, в то время как свойство (14) все же соблюдается, например, при
. Это показывает, что равномерная сходимость последовательности является достаточным, но не необходимым условием сходимости последовательности интегралов к интегралу от предельной функции. Далее, при
последовательность
не только сходится к нулю неравномерно, но и свойство (14) не соблюдается.
Таким образом, если последовательность
сходится неравномерно, то возможно, что последовательность интегралов
сходится к интегралу от предельной функции
, а возможно, что сходится к другому числу (при
сходится к
, а не к нулю) или же не сходится вовсе.
П р и м е р 3. Из равенства
следует, что
,
а отделяя действительную и мнимую части, получим
, (15)
. (16)
Функция
называется ядром Пуассона, а
- ему сопряженной функцией.
Эти функции являются гармоническими функциями (для
), т. е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа в полярных координатах
. (17)
В самом деле, каждый член ряда (15) является гармонической функцией
,
,
.
Аналогично
.
Законность почленного дифференцирования рядов (15) и (16) обусловлена тем, что эти ряды и формально продифференцированные (один или два раза) ряды равномерно сходятся при
, где
- любое положительное число, меньшее единицы.
Заметим, что функция
, где
и
- декартовы координаты, называется гармонической в области
точек
, если она удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению
.
В полярных координатах это уравнение имеет вид (17).