§ 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов

Рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда

                       (1)

с действительными или комплексными членами. Перенумеруем пары , где , , каким-нибудь способом

.              (2)

Здесь важно, что каждая указанная пара  входит в последовательность (2) в качестве ее элемента один раз. Она имеет в этой последовательности определенный номер. Докажем, что

,                                    (3)

и при этом ряд справа в (3) абсолютно сходится.

Таким образом, если из всевозможных произведений  , взятых в любом порядке, составить ряд, то этот ряд абсолютно сходится и имеет сумму, равную .

Чтобы доказать это утверждение, составим ряды из модулей  и

.                 (1’)

Положим

.

Пары  упорядочим сначала следующим образом (рис. 106):  , тогда

.                       (4’)

Это показывает, что сумма справа стремится при  к пределу, равному , и так как члены ее неотрицательные, то число  есть сумма ряда

.                              (5’)

Так как члены этого ряда неотрицательные, то их можно переставлять как угодно, не изменяя его сходимости и суммы .

Рис. 106

Мы доказали наше утверждение пока для рядов (1’).

Пусть теперь

.

Как в (4’) в силу сходимости рядов (1) будем иметь

           (4)

Таким образом, существует предел справа в (4) при , равный . Но мы уже доказали, что ряд (5’) сходится. Это показывает, что и ряд

                              (5)

сходится и притом абсолютно.

В силу же (4) сумма этого ряда равна :

.

Мы, таким образом, доказали равенство (3) пока для одного определенного способа нумерации пар . Но в силу абсолютной сходимости ряда (5) равенство (3) сохраняется и при любом другом способе нумерации.

П р и м е р. Ряд

                                 (6)

абсолютно сходится для любого комплексного значения  или, как говорят, абсолютно сходится на всей комплексной плоскости. В этом легко убедиться, если к ряду с общим членом  применить признак Даламбера.

Для любых двух комплексных чисел  и  имеем (пояснения ниже)

.           (7)

Во втором равенстве мы расположили произведения  в порядке, который можно усмотреть из рис. 107,  и воспользовались равенством (3) для абсолютно сходящихся рядов. Полученный при этом ряд, как было доказано в общем случае, абсолютно сходится. Отдельные группы членов сходящегося ряда законно объединить скобками, не нарушая его сходимость. Это и сделано в последующих равенствах.

Мы доказали важное равенство

                             (8)

для любых комплексных  и . О нем еще будет идти речь в § 9.13.

Рис. 107