§ 9.11. Степенные ряды

Ряд вида

, (1)

где - постоянные числа, а - переменная, называется степенным рядом. При этом и могут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного. Буква будет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква - действительное переменное число (точку действительной оси ).

В теории степенных рядов центральное место занимает следующая основная теорема.

Т е о р е м а 1 (о с н о в н а я). Для степенного ряда (1) существует неотрицательное число , конечное или бесконечное , обладающее следующими свойствами:

1) Ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге комплексной плоскости и расходится в точках с .

2) Число определяется по формуле

, (2)

где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 2.10).

Мы позволяем себе при этом считать, что

Таким образом, если указанный верхний предел равен 0, то , если же он равен , то .

Открытый круг называется кругом сходимости степенного ряда. При он превращается во всю комплексную плоскость. При степенной ряд имеет только одну точку сходимости, именно точку ; называют радиусом сходимости ряда (1).

З а м е ч а н и е 1. Число , удовлетворяющее утверждению 1) теоремы 1, очевидно, единственно.

З а м е ч а н и е 2. Если для степенного ряда (1) существует обычный предел , то он равен верхнему пределу . Поэтому

Читатель, не ознакомившийся с понятиями верхнего предела, может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В этом случае всюду в производимых ниже рассуждениях надо заменить на .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Пусть число определяется по формуле (2). В точке степенной ряд сходится. Будем далее считать, что . Наряду с рядом (1) введем второй ряд, составленный из его модулей,

. (1’)

Общий член ряда (1’) обозначим через

. (3)

Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. § 9.4, теорема 3, в)),

и при этом переменная неограниченна, но

Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число .

Из сказанного следует: если , т. е. , то ряд (1’) сходится, а вместе с ним сходится, и притом абсолютно, ряд (1); если же , т. е. , то ряд (1’) расходится и его общий член неограничен, поэтому общий член ряда (1) не стремится к нулю при и для него не выполняется необходимый признак (см. § 9.1). Это показывает, что ряд (1) расходится.

Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2) число обладает следующим свойством:

Основная теорема доказана.

Будем в дальнейшем для краткости обозначать через замкнутый круг комплексной плоскости.

Заметим, что степенной ряд сходится на открытом круге , вообще говоря, неравномерно. Однако верна следующая теорема.

Т е о р е м а 2. Степенной ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на любом круге , где , а - радиус сходимости ряда (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть , тогда есть действительная, т. е. лежащая на оси точка, принадлежащая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэтому в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится, т. е.

С другой стороны, для , имеем

Так как правые части этих неравенств не зависят от и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд (1) сходится на абсолютно и равномерно.

Т е о р е м а 3. Сумма

степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом круге сходимости .

В самом деле, члены нашего ряда – непрерывные функции от , а сам ряд равномерно сходится на круге , . Следовательно, по известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.8, теорема 2) сумма ряда есть непрерывная функция на , но тогда и на всем круге , потому что произвольно.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при вычислении удобно бывает воспользоваться признаком Даламбера.

Пусть существует предел (конечный или бесконечный)

, (4)

который мы пока обозначим через . Тогда (см. (3))

и, согласно признаку Даламбера (§ 9.4, теорема 2), если , то ряд (1’), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если же , то и ряд (1) расходится. Но число с такими свойствами может быть только единственным, поэтому (см. теорему 1).

Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то он равен :

, (5)

где - радиус сходимости степенного ряда (1).

Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу .

З а м е ч а н и е 3. В нашей учебной литературе обычно начинают изложение теории степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге , где - любое число, удовлетворяющее неравенствам .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема теперь уже является следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как есть точка сходимости ряда (1), то не может быть большим, чем . Поэтому и . Но тогда по теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге абсолютно и равномерно.

П р и м е р ы.

, (6)

, (7)

. (8)

С помощью формулы (2) или (5) заключаем, что радиус сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен 0.

Сумма ряда (6) (геометрическая прогрессия) в открытом круге равна , а остаток

Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходимости имеет место уже для положительных на интервале ; неравенство

(9)

при любом заданном нельзя удовлетворить для всех указанных .

Ведь если взять очень близким к 1, то числитель в правой части будет тоже близок к 1, а знаменатель близок к нулю и дробь в правой части (9) можно, таким образом, сделать большей чем .

Ряд (7) при равномерно сходится на замкнутом круге его сходимости, так как при

Если , то в точке , лежащей на границе круга сходимости, ряд (7) расходится.

Ряд (8) сходится только в точке .