§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Т е о р е м а 1. Радиусы сходимости степенного ряда

(1)

и ряда

, (2)

полученного из него формальным дифференцированием, совпадают.

З а м е ч а н и е. Определение непрерывности и производной от функции комплексного переменного такое же, как и в случае функции от действительной переменной. Необходимо лишь иметь в виду, что -окрестность точки есть открытый круг радиуса с центром в точке . Исходя из этого определения, производная от степенной функции вычисляется по формуле .

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Будем считать, что есть радиус сходимости ряда (1), а - радиус сходимости ряда (2). Докажем теорему в предположении, что предел

(3)

конечный или бесконечный существует. Имеем

следовательно, .

В общем случае, когда предел (3) не существует, имеет место

и тогда

Но требуется доказать обоснование второго равенства – надо доказать, что числа и , то

. (4)

В самом деле, существует подпоследовательность такая, что

. (5)

Существует также подпоследовательность такая, что

. (6)

Из (5) и (6) следует (4).

Т е о р е м а 2. Степенной ряд

(7)

законно формально дифференцировать в пределах его (открытого) круга сходимости , т. е. верна формула

. (8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эту теорему мы докажем только в предположении, что есть действительная переменная, что даст нам возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действительных рядов.

Итак, степенной ряд (7) для действительной переменной имеет вид

. (7’)

Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости . Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет вид

(8’)

Его сумму мы пока обозначили через . Он сходится на интервале на основании предыдущей теоремы. Оба ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке , где . При этом члены второго ряда непрерывны и являются производными от соответствующих членов первого. Но тогда на основании теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.9, теорема 3) выполняется равенство

(9)

на отрезке , следовательно, и на интервале , потому что произвольно.

Отметим, что в силу доказанной теоремы 2 ряд (1) законно почленно дифференцировать сколько угодно раз. На -м этапе мы получим равенство

справедливо для всех с . Если положить в нем , то получим

или

Отсюда, в частности, следует, что разложение функции в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге (или в интервале , если речь идет о функции действительного переменного ) единственно.

Таким образом, сумму степенного ряда (7), имеющего радиус сходимости , можно записать еще следующим образом:

. (10)

Ряд справа в (10) называется рядом Тейлора функции по степеням .

Мы получили, что если степенной ряд (1) имеет радиус сходимости , то он является рядом Тейлора своей суммы .

Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов во всей его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции комплексного переменного. Мы ограничимся рассмотрением этого вопроса только для степенных рядов

(11)

от действительной переменной .

Зададим степенной ряд (11), имеющий интервал сходимости , где . Числа могут быть действительными или комплексными. Зададим фиксированную точку и подберем так, чтобы

Степенной ряд (11) равномерно сходится на отрезке , находящемся строго внутри интервала сходимости ряда, и, следовательно, его можно почленно интернировать (см. § 9.9, теорема 2) от до :

(12)

В частности, при получим

. (13)

П р и м е р 1. Очевидно, что

Этот ряд сходится на интервале . Поэтому, если , то законно почленное интегрирование этого ряда от нуля до (ряд равномерно сходится на любом отрезке, принадлежащем к интервалу сходимости):

Полученный ряд сходится и при (как ряд Лейбница). Можно доказать, что он сходится к , т. е. (см. далее § 9.14).

П р и м е р 2. Ряд Тейлора для функции имеет вид (см. § 4.16)

причем для него . Поэтому этот ряд можно почленно интегрировать:

т. е. мы получили выражение интеграла Пуассона через степенной ряд.

П р и м е р 3. Ряд Тейлора функции имеет вид (см. § 4.16)

Он сходится на всей оси. Отсюда при имеем

. (14)

Считая, что , получаем, что равенство (14) верно и при . Ряд (14) равномерно сходится на любом конечном интервале действительной оси. Интегрируя этот степенной ряд, получаем: