§ 9.13. Функции exp(z), sinz, cosz от комплексного переменного

Функции от действительной переменной определены на всей действительной оси .

Из § 4.16 мы знаем, что эти функции разлагаются в степенные ряды:

(1)

сходящиеся на .

Это есть ряды Тейлора этих функций по степеням .

В § 5.3 было дано определение функции , где - действительная переменная, посредством формулы Эйлера

. (2)

Подставим в правую часть (2) вместо и их степенные ряды, тогда получим разложение по степеням

Функцию для любого комплексного естественно определить следующим образом:

Отсюда

(см. § 9.10, (6), (8)).

Мы получили, что функция от комплексного переменного разлагается в степенной ряд по степеням

, (3)

сходящийся к ней на всей комплексной плоскости.

Ряд (3) есть ряд Тейлора функции по степеням .

Радиус сходимости ряда (3) , и уже из общих свойств степенных рядов (см. § 9.10) следует, что ряд (3) абсолютно сходится для любого комплексного , при этом он равномерно сходится (к ) на круге как бы ни было велико положительное число .

Функции и от комплексной переменной естественно определить как суммы следующих степенных рядов:

Оба эти ряда имеют радиус сходимостей и, таким образом, обе соответствующие функции определены для любого комплексного .

Легко проверяется сравнением соответствующих степенных рядов, что

(4)

для любого комплексного .

Теперь, пользуясь свойствами показательной функции (от комплексного ), легко получаем формулы

верные для любых комплексных и .

Эти формулы, таким образом, обобщают хорошо известные формулы тригонометрии, где считалось, что и - действительные переменные. Отметим, что функции и в комплексной плоскости обладают не всеми свойствами обычных функций и . В частности, эти функции не ограничены на комплексной плоскости.

В силу (4) при действительном

, (5)

. (6)

Формулы (5) и (6), между прочим, устанавливают связь между «комплексной тригонометрией» и «гиперболической тригонометрией».

Функция от комплексной переменной определяется как обратная функция от функции

. (7)

Если записать в показательной форме

то равенство (7) запишется в виде

откуда

т. е.

Поэтому

, (8)

где понимается в обычном смысле. Из (8) видно, что есть многозначная функция от вместе с , независимо от того, будет ли действительным или комплексным.

Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного переменного) равен одному из чисел . В действительном анализе для выражения выбирается среди этих чисел единственное действительное число 0.

Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций комплексного переменного – это не наша задача. Сделаем только замечание по поводу формулы

которая была выведена в § 4.16 для действительных . Если подставить в ряд в правой части вместо комплексное с

то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна , так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных ветвей многозначной функции

Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функциями. Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций или теорией функций комплексного переменного. Наконец отметим, что если в степенном ряде по степеням

с кругом сходимости положить , где - фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд

называемый степенным рядом по степеням .

Он сходится в круге (сходимости) и расходится для , удовлетворяющих неравенству .