§ 9.14. Ряды в приближенных вычислениях

В этом параграфе мы будем заниматься приближенным вычислением значений элементарных функций.

Простейшая элементарная функция – это многочлен

.

Вычисление этой функции при  сводится к производству конечного числа сложений и умножений. Значение этой функции в точке  может быть легко найдено с любой степенью точности. Если использовать ЭВМ (электронно-вычислительную машину), то это можно сделать весьма быстро.

Другие элементарные функции, такие, как , как мы показали выше, разлагаются в ряд Тейлора по степеням .

Погрешность, которую мы допускаем при замене функции (суммы ряда), на многочлен Тейлора, можно узнать, оценивая остаточный член ряда.

Рассмотрим степенной ряд

         (1)

с интервалом сходимости . Строго внутри интервала сходимости он сходится к  со скоростью убывающей геометрической прогрессии.

В самом деле, пусть  и  - произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам . Тогда ряд (1) сходится в точке  и его члены образуют ограниченную последовательность . Поэтому для всех

,

где .

Мы видим, что степенным рядом выгодно пользоваться для вычисления значений функции  в точках, лежащих строго внутри интервала сходимости.

Если же точка  есть один из концов интервала , то в этой точке, если ряд и сходится, то медленнее, чем убывающая геометрическая прогрессия. Обычно настолько медленнее, что нецелесообразно пользоваться непосредственно степенным рядом (1) для вычисления значения  в указанной концевой точке. Ниже мы проиллюстрируем эти факты на конкретных примерах.

Начнем с вычисления числа .

В § 9.12 в примере 1 показано, что

.                (2)

Рассмотрим тождество

.

Интегрируя это тождество на , имеем

,

где

.

Легко видеть, что

.

Отсюда следует, что

,

т. е.  является суммой ряда

или

.                                  (3)

Мы видим, что этот ряд сходится медленнее любой убывающей геометрической прогрессии.

Для того чтобы вычислить число  с помощью ряда (3), с точностью до , надо взять столько слагаемых ряда (3), чтобы остаток был меньше . Так как ряд (3) есть ряд Лейбница, то его остаток меньше модуля первого его члена

.

Отсюда видно, что при . Таким образом, нужно взять два миллиона слагаемых ряда (3), чтобы гарантировать значение числа  с требуемой точностью.

Вручную такую работу выполнять бессмысленно. На ЭВМ эту работу можно выполнить, но и на ЭВМ эта работа будет непроизводительной, если мы будем пользоваться рядом (3).

Укажем ряд, более быстро сходящийся к числу . С этой целью рассмотрим число  такое, что

.

Тогда

,

 

,

.

Отсюда

,

.

Используя теперь ряд (2), получаем

.

Последние два ряда сходятся довольно быстро (быстрее убывающей геометрической прогрессии).

Легко проверить, что остаток первого ряда уже при  меньше . Поэтому, вычисляя четыре слагаемых первого ряда и два слагаемых второго ряда (с точностью до седьмого знака), в результате получим

,

причем первые пять десятичных знаков точные.

Вычисление логарифмов. Ряд Тейлора для функции  можно получить, интегрируя тождество

,

.             (4)

При  данный ряд сходится и притом к .

В самом деле, интегрируя тождество

по ,  получаем

,

где

.

Ряд (4) при , так же как и ряд (3), сходится медленно.

Заменяя в (4)  на , получаем

.                                    (5)

Вычитая (5) из (4), имеем

.                                  (6)

Это равенство и используется для вычисления логарифмов от натуральных чисел. Например, полагая , получаем

,                            (7)

где ряд справа сходится даже быстрее геометрической прогрессии.

Для вычисления  с точностью до  достаточно взять пять слагаемых ряда (7):

(каждое слагаемое ряда вычисляем с шестью знаками после запятой).

Вообще, полагая

,

 - натуральное число, получим

,

.            (8)

Полагая последовательно , найдем . Ряд справа в (8) сходится очень быстро.

Вычисление корней.  Ряд Тейлора для функции  мы получили в § 4.16:

.                (9)

Ряд (9) называют биноминальным. Известно, что ряд (9) при  не всегда сходится, а если сходится, то медленно. Поэтому, если, например, надо вычислить , то не рационально воспользоваться формулой (9) при . Но вот как можно поступить. Обычно преобразуют подкоренное выражение так, чтобы оно мало отличалось от единицы:

,

или

.     (10)

Нахождение чисел 25 и 49 можно производить так: выписываем квадраты натуральных чисел

,                                  (11)

затем выписываем ряд чисел, получаемых из (11) умножением на подкоренное выражение, в данном случае на два:

.                               (12)

В строках (11) и (12) ищем числа таким образом, чтобы их отношение было близким к единице. Среди выписанных чисел это и будут числа   и .

Если эти строки продолжить, то можно найти еще близкие числа 289 и 288, т. е.

.     (13)

Теперь уже можно использовать ряд (9). Например, в силу (13), при  получаем

.              (14)

Ряд справа в (14) сходится очень быстро. Кроме того, он знакочередующийся, т. е. остаток ряда меньше модуля первого члена этого остатка.

Запишем ряд (14) в развернутом виде:

.      (15)

Третий член ряда (15) , поэтому

с точными четырьмя знаками.

Отметим, что вычисление , исходя из (10), очень удобно, так как в знаменателе мы сразу получаем степени 10. Если взять три первых слагаемых этого ряда, .

П р и м е р   1. вычислить  с точностью до .

Выпишем кубы натуральных чисел

и ряд этих чисел, умноженных на 5,

.

Отсюда

 

,

третий член ряда

,

поэтому

с точностью до 0,01.