§ 9.15. Понятие кратного ряда

Выражение

, (1)

где - числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов , называется двойным или двукратным рядом. Числа называются членами ряда, а числа

(2)

частичными (частными) суммами ряда (1).

Пары целых неотрицательных индексов можно рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда в частную сумму входят члены ряда (1) с индексами , соответствующими точками прямоугольника (рис. 108). В силу этого частичные суммы называют еще прямоугольными частичными суммами ряда (1). Количество членов ряда (1) в будет .

Рис. 108

По определению ряд (1) сходится по прямоугольникам к числу , называемому суммой ряда (1), если существует

, (3)

т. е. если для любого найдется такое число , что

для всех . В этом случае пишут

Остановимся на случае, когда члены ряда (1) - неотрицательные числа . Положим

. (4)

Если - конечное число, то для любого найдется пара такая, что , а вследствие неотрицательности

Поэтому , и существует предел

Если же , то, очевидно, (при ), . В этом случае пишут

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд

Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовало число такое, что

каковы бы ни были .

Обоснование критерия Коши производится так же, как и в случае обычных однократных рядов.

Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение

которому естественно приписать число (если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого ряд, заключенный в скобки, сходится и имеет сумму , и ряд сходится к числу , то полагаем

. (5)

Т е о р е м а 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство

. (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим сначала, что неотрицательны. Пусть левая часть (6) равна числу .

Для любых неотрицательных и при

, (7)

откуда ряды сходятся; поэтому, если во втором неравенстве в (7) зафиксировать и перейти к пределу при , получим, что

для любого , откуда следует существование числа (см. (5)) и тот факт, что .

С другой стороны, если число конечно, то при любых

и потому

Равенство (6) при доказано.

Пусть теперь - действительные произвольные числа. Положим

Тогда

Поэтому из сходимости ряда следует сходимость рядов с неотрицательными членами и потому

Наконец, если - комплексные числа и ряд сходится, то сходятся также ряды , где и - действительные числа; поэтому

Теорема доказана полностью.

П р и м е р 1. Исследовать, при каких сходится двойной ряд

Р е ш е н и е. В силу теоремы 1 исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов

Как мы знаем (см. § 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда эквивалентна сходимости несобственного интеграла , который сходится при :

Далее,

Последний интеграл сходится при , т. е. при . Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямоугольникам при .

Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму , так же как сумму ряда, составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов последовательностей.

обычных, зависящих только от одного индекса . Последовательностям соответствуют сходящиеся ряды

, (8)

. (9)

с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть:

. (10)

Но тогда ряд

, (11)

полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к .

Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (11) сходится к и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя суммы.

Этим доказана следующая

Т е о р е м а 2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу и притом абсолютно, перенумеровать любым способом при помощи одного индекса и составить ряд , то последний будет сходиться к тому же числу абсолютно.

Докажем следующую теорему:

Т е о р е м а 3. Пусть заданы два абсолютно сходящихся (однократных) ряда , пусть всевозможные произведения перенумерованы: любым способом при помощи одного индекса. Тогда справедливо равенство

где ряд справа абсолютно сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть . Двойной ряд абсолютно сходится потому, что при любых

Поэтому

где последнее равенство справедливо в силу предыдущей теоремы.

З а м е ч а н и е 1. Отметим, что теорема 3 по сути дела доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство, использующее понятие сходимости двойного ряда.

В заключение заметим, что можно рассматривать -кратные ряды

З а м е ч а н и е 2. Выше мы ввели понятие прямоугольных частичных сумм , содержащих членов ряда (1) . Любую сумму, состоящую из конечного числа слагаемых ряда (1), принято также называть частичной суммой этого ряда.

В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содержащие членов ряда, которые мы будем обозначать через , можно строить различными способами. Например, можно взять частную сумму, содержащую члены ряда с индексами , отвечающими точкам плоскости , принадлежащим кругу радиуса с центром в начале координат (рис. 109)

Рис. 109 Рис. 110

Отметим, что числа и связаны соотношением (можно доказать, что количество точек с целочисленными координатами, находящимися в круге радиуса , пропорционально площади этого круга).

Сумма называется круговой (сферической) частичной суммой ряда (1).

Для -кратного ряда сферическая сумма имеет вид

Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с индексами , удовлетворяющими условию

то соответствующая сумма называется треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда (1).

В зависимости от характера частичных сумм можно определить различные виды сходимости ряда (1) (по сферам, треугольникам, и т. п.).

Ряд (1) называется сходящимся к числу по сферам, если такое, что при выполняется неравенство

Аналогично определяется сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но мы не будем на этом останавливаться.

З а д а ч и.

1. Исследовать, при каких сходится тройной (трехкратный) ряд