§ 9.15. Понятие кратного ряда
Выражение
,
(1)
где
- числа (действительные или
комплексные), зависящие от пар индексов
, называется двойным или двукратным
рядом. Числа
называются
членами ряда, а числа
(2)
частичными (частными)
суммами ряда (1).
Пары целых неотрицательных
индексов
можно
рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда
в частную сумму
входят
члены ряда (1) с индексами
, соответствующими точками
прямоугольника
(рис. 108). В
силу этого частичные суммы
называют еще прямоугольными
частичными суммами ряда (1). Количество членов ряда (1) в
будет
.
Рис. 108
По определению ряд (1) сходится
по прямоугольникам к числу
, называемому суммой ряда (1),
если существует
, (3)
т. е. если для любого
найдется такое
число
,
что
для всех
. В этом случае пишут
.
Остановимся на случае, когда
члены ряда (1) - неотрицательные числа
. Положим
.
(4)
Если
- конечное число, то для
любого
найдется
пара
такая,
что
, а
вследствие неотрицательности
.
Поэтому
, и существует предел
.
Если же
, то, очевидно, (при
),
. В этом случае
пишут
.
Ряд (1) называется абсолютно
сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд
.
Как и в случае обычных рядов, доказывается,
что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии
Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы
для всякого
существовало
число
такое,
что
,
каковы бы ни были
.
Обоснование критерия Коши
производится так же, как и в случае обычных однократных рядов.
Наряду с рядом (1) можно
рассматривать еще выражение
,
которому естественно приписать
число
(если
только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого
ряд, заключенный в
скобки, сходится и имеет сумму
, и ряд
сходится к числу
, то полагаем
.
(5)
Т е о р е м а 1. Если ряд (1) абсолютно
сходится, то имеет место равенство
. (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Допустим сначала, что
неотрицательны. Пусть левая часть
(6) равна числу
.
Для любых неотрицательных
и
при
,
(7)
откуда ряды
сходятся; поэтому, если во
втором неравенстве в (7) зафиксировать
и перейти к пределу при
, получим, что
для любого
, откуда следует существование числа
(см. (5)) и тот
факт, что
.
С другой стороны, если число
конечно, то при любых
,
и потому
.
Равенство (6) при
доказано.
Пусть теперь
- действительные произвольные числа.
Положим
Тогда
.
Поэтому из сходимости ряда
следует сходимость
рядов
с
неотрицательными членами и потому
.
Наконец, если
- комплексные
числа и ряд
сходится,
то сходятся также ряды
, где
и
- действительные числа; поэтому
.
Теорема доказана полностью.
П р и м е р 1. Исследовать, при каких
сходится двойной ряд
.
Р е ш е н и е. В силу теоремы 1
исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов
.
Как мы знаем (см. § 9.2, теорема
2), сходимость первого ряда
эквивалентна сходимости
несобственного интеграла
, который сходится при
:
.
Далее,
.
Последний интеграл сходится при
, т. е. при
. Поэтому исходный
двойной ряд сходится по прямоугольникам при
.
Рассмотрим еще новый вопрос.
Пусть двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму
, так же как сумму
ряда,
составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов
последовательностей.
обычных, зависящих только от
одного индекса
.
Последовательностям
соответствуют сходящиеся ряды
, (8)
. (9)
с членами, равными суммам чисел,
стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа,
поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть:
. (10)
Но тогда ряд
,
(11)
полученный вычеркиванием в (8)
всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к
.
Мы доказали, что если двойной ряд
(1) сходится к числу
и притом абсолютно, то полученный из
него обычный (однократный) ряд (11) сходится к
и тоже абсолютно. Но члены абсолютно
сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не
изменяя суммы.
Этим доказана следующая
Т е о р е м а 2. Если члены
двойного ряда (1), сходящегося к числу
и притом абсолютно, перенумеровать
любым способом
при
помощи одного индекса и составить ряд
, то последний будет сходиться к тому
же числу
абсолютно.
Докажем следующую теорему:
Т е о р е м а 3. Пусть заданы
два абсолютно сходящихся (однократных) ряда
, пусть всевозможные
произведения
перенумерованы:
любым способом
при помощи одного индекса. Тогда справедливо равенство
,
где ряд справа абсолютно
сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В
самом деле, пусть
. Двойной ряд
абсолютно сходится потому,
что при любых
.
Поэтому
,
где последнее равенство справедливо в силу предыдущей
теоремы.
З а м е ч а н и е 1. Отметим,
что теорема 3 по сути дела доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство,
использующее понятие сходимости двойного ряда.
В заключение заметим, что можно
рассматривать
-кратные
ряды
.
З а м е ч а н и е 2. Выше мы
ввели понятие прямоугольных частичных сумм
, содержащих
членов ряда (1)
. Любую сумму,
состоящую из конечного числа
слагаемых ряда (1), принято также
называть частичной суммой этого ряда.
В случае кратного ряда (1)
частичные суммы, содержащие
членов ряда, которые мы будем
обозначать через
,
можно строить различными способами. Например, можно взять частную сумму,
содержащую члены ряда с индексами
, отвечающими точкам плоскости
, принадлежащим
кругу радиуса
с
центром в начале координат (рис. 109)
.
Рис.
109 Рис. 110
Отметим, что числа
и
связаны
соотношением
(можно
доказать, что количество точек
с целочисленными координатами,
находящимися в круге радиуса
, пропорционально площади этого
круга).
Сумма
называется круговой (сферической)
частичной суммой ряда (1).
Для
-кратного ряда
сферическая сумма имеет вид
.
Если в частичную сумму включить
члены ряда (1) с индексами
, удовлетворяющими условию
,
то соответствующая сумма
называется треугольной
(рис. 110) частичной суммой ряда (1).
В зависимости от характера
частичных сумм можно определить различные виды сходимости ряда (1) (по сферам,
треугольникам, и т. п.).
Ряд (1) называется сходящимся
к числу
по
сферам, если
такое, что при
выполняется
неравенство
.
Аналогично определяется
сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны
между собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но мы не будем на этом
останавливаться.
З а д а ч и.
1. Исследовать, при каких
сходится тройной (трехкратный)
ряд
.
О т в е т:
.
2. Исследовать, при каких
сходится
-кратный ряд
.
О т в е т:
.
3. Исследовать, при каких
сходится двойной ряд
.
О т в е т:
.
4. Исследовать, при каких
, сходится двойной ряд
.
О т в е т:
.
5. Исследовать, при каких
, сходится
-кратный ряд
.
О т в е т:
.