Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 9.15. Понятие кратного ряда

Выражение

,                               (1)

где  - числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов , называется двойным или двукратным рядом. Числа  называются членами ряда, а числа

                      (2)

частичными (частными) суммами ряда (1).

Пары целых неотрицательных индексов  можно рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда в частную сумму  входят члены ряда (1) с индексами , соответствующими точками  прямоугольника  (рис. 108). В силу этого частичные суммы  называют еще прямоугольными частичными суммами ряда (1). Количество членов ряда (1) в  будет .

Рис. 108

По определению ряд (1) сходится по прямоугольникам к числу , называемому суммой ряда (1), если существует

,                        (3)

т. е. если для любого  найдется такое число , что

для всех . В этом случае пишут

.

Остановимся на случае, когда члены ряда (1)  - неотрицательные числа . Положим

.                             (4)

Если  - конечное число, то для любого  найдется пара  такая, что , а вследствие неотрицательности

.

Поэтому , и существует предел

.

Если же , то, очевидно, (при ), . В этом случае пишут

.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд

.

Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого  существовало число  такое, что

,

каковы бы ни были .

Обоснование критерия Коши производится так же, как и в случае обычных однократных рядов.

Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение

,

которому естественно приписать число  (если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого  ряд, заключенный в скобки, сходится и имеет сумму ,  и ряд  сходится к числу , то полагаем

.                                 (5)

Т е о р е м а   1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство

.                               (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим сначала, что  неотрицательны. Пусть левая часть (6)  равна числу .

Для любых неотрицательных  и  при  

,                                     (7)

откуда ряды  сходятся; поэтому, если во втором неравенстве в (7) зафиксировать  и перейти к пределу при , получим, что

для любого , откуда следует существование числа  (см. (5)) и тот факт, что .

С другой стороны, если число  конечно, то при любых

,

и потому

.

Равенство (6) при  доказано.

Пусть теперь  - действительные произвольные числа. Положим

Тогда

.

Поэтому из сходимости ряда  следует сходимость рядов  с неотрицательными членами и потому

.

Наконец, если  - комплексные числа и ряд  сходится, то сходятся также ряды , где  и  - действительные числа; поэтому

.

Теорема доказана полностью.

П р и м е р   1. Исследовать, при каких  сходится двойной ряд

.

Р е ш е н и е. В силу теоремы 1 исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов

.

Как мы знаем (см. § 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда  эквивалентна сходимости несобственного интеграла , который сходится при :

.

Далее,

.

Последний интеграл сходится при , т. е. при . Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямоугольникам при .

Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму , так же как сумму  ряда, составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов последовательностей.

обычных, зависящих только от одного индекса . Последовательностям  соответствуют сходящиеся ряды

,     (8)

.      (9)

с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть:

 .                    (10)

Но тогда ряд

,                                    (11)

полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к .

Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу  и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (11) сходится к  и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя суммы.

Этим доказана следующая

Т е о р е м а   2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу  и притом абсолютно, перенумеровать любым способом  при помощи одного индекса и составить ряд , то последний будет сходиться к тому же числу  абсолютно.

Докажем следующую теорему:

Т е о р е м а  3. Пусть заданы два абсолютно сходящихся (однократных) ряда  , пусть всевозможные произведения   перенумерованы:  любым способом при помощи одного индекса. Тогда справедливо равенство

,

где ряд справа абсолютно сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть . Двойной ряд абсолютно сходится потому, что при любых

.

Поэтому

,

где последнее равенство справедливо в силу предыдущей теоремы.

З а м е ч а н и е   1. Отметим, что теорема 3 по сути дела доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство, использующее понятие сходимости двойного ряда.

В заключение заметим, что можно рассматривать -кратные ряды

.

З а м е ч а н и е  2. Выше мы ввели понятие прямоугольных частичных сумм , содержащих  членов ряда (1) . Любую сумму, состоящую из конечного числа  слагаемых ряда (1), принято также называть частичной суммой этого ряда.

В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содержащие  членов ряда, которые мы будем обозначать через , можно строить различными способами. Например, можно взять частную сумму, содержащую члены ряда с индексами , отвечающими точкам плоскости , принадлежащим кругу радиуса  с центром в начале координат (рис. 109)

.

Рис. 109                                 Рис. 110

Отметим, что числа  и  связаны соотношением  (можно доказать, что количество точек  с целочисленными координатами, находящимися в круге радиуса , пропорционально площади этого круга).

Сумма  называется круговой (сферической) частичной суммой ряда (1).

Для -кратного ряда  сферическая сумма имеет вид

.

Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с индексами , удовлетворяющими условию

,

то соответствующая сумма  называется треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда (1).

В зависимости от характера частичных сумм можно определить различные виды  сходимости ряда (1) (по сферам, треугольникам, и т. п.).

Ряд (1) называется сходящимся к числу  по сферам, если   такое, что при  выполняется неравенство

.

Аналогично определяется сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но мы не будем на этом останавливаться.

З а д а ч и.         

1.  Исследовать, при каких  сходится тройной (трехкратный) ряд

.

О т в е т: .

2. Исследовать, при каких  сходится -кратный ряд

.

О т в е т: .

3. Исследовать, при каких  сходится двойной ряд

.

О т в е т: .

4. Исследовать, при каких , сходится двойной ряд

.

О т в е т: .

5. Исследовать, при каких , сходится -кратный ряд

.

О т в е т: .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>