§ 9.15. Понятие кратного ряда
Выражение
, (1)
где
- числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов
, называется двойным или двукратным рядом. Числа
называются членами ряда, а числа
(2)
частичными (частными) суммами ряда (1).
Пары целых неотрицательных индексов
можно рассматривать как точки плоскости с целыми неотрицательными координатами. Тогда в частную сумму
входят члены ряда (1) с индексами
, соответствующими точками
прямоугольника
(рис. 108). В силу этого частичные суммы
называют еще прямоугольными частичными суммами ряда (1). Количество членов ряда (1) в
будет
.

Рис. 108
По определению ряд (1) сходится по прямоугольникам к числу
, называемому суммой ряда (1), если существует
, (3)
т. е. если для любого
найдется такое число
, что

для всех
. В этом случае пишут
.
Остановимся на случае, когда члены ряда (1) - неотрицательные числа
. Положим
. (4)
Если
- конечное число, то для любого
найдется пара
такая, что
, а вследствие неотрицательности 
.
Поэтому
, и существует предел
.
Если же
, то, очевидно, (при
),
. В этом случае пишут
.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится (по прямоугольникам) ряд
.
Как и в случае обычных рядов, доказывается, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство базируется на критерии Коши: для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
существовало число
такое, что
,
каковы бы ни были
.
Обоснование критерия Коши производится так же, как и в случае обычных однократных рядов.
Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение
,
которому естественно приписать число
(если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого
ряд, заключенный в скобки, сходится и имеет сумму
, и ряд
сходится к числу
, то полагаем
. (5)
Т е о р е м а 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство
. (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим сначала, что
неотрицательны. Пусть левая часть (6) равна числу
.
Для любых неотрицательных
и
при
, (7)
откуда ряды
сходятся; поэтому, если во втором неравенстве в (7) зафиксировать
и перейти к пределу при
, получим, что

для любого
, откуда следует существование числа
(см. (5)) и тот факт, что
.
С другой стороны, если число
конечно, то при любых 
,
и потому
.
Равенство (6) при
доказано.
Пусть теперь
- действительные произвольные числа. Положим

Тогда
.
Поэтому из сходимости ряда
следует сходимость рядов
с неотрицательными членами и потому
.
Наконец, если
- комплексные числа и ряд
сходится, то сходятся также ряды
, где
и
- действительные числа; поэтому
.
Теорема доказана полностью.
П р и м е р 1. Исследовать, при каких
сходится двойной ряд
.
Р е ш е н и е. В силу теоремы 1 исследование можно свести к сходимости обычных (однократных) рядов
.
Как мы знаем (см. § 9.2, теорема 2), сходимость первого ряда
эквивалентна сходимости несобственного интеграла
, который сходится при
:
.
Далее,
.
Последний интеграл сходится при
, т. е. при
. Поэтому исходный двойной ряд сходится по прямоугольникам при
.
Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть двойной ряд (1) сходится и притом абсолютно. Его сумму
, так же как сумму
ряда, составленного из его абсолютных величин, можно записать в виде пределов последовательностей.

обычных, зависящих только от одного индекса
. Последовательностям
соответствуют сходящиеся ряды
, (8)
. (9)
с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменяется, если в нем скобки вычеркнуть:
. (10)
Но тогда ряд
, (11)
полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к
.
Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу
и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (11) сходится к
и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя суммы.
Этим доказана следующая
Т е о р е м а 2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу
и притом абсолютно, перенумеровать любым способом
при помощи одного индекса и составить ряд
, то последний будет сходиться к тому же числу
абсолютно.
Докажем следующую теорему:
Т е о р е м а 3. Пусть заданы два абсолютно сходящихся (однократных) ряда
, пусть всевозможные произведения
перенумерованы:
любым способом при помощи одного индекса. Тогда справедливо равенство
,
где ряд справа абсолютно сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть
. Двойной ряд
абсолютно сходится потому, что при любых 
.
Поэтому
,
где последнее равенство справедливо в силу предыдущей теоремы.
З а м е ч а н и е 1. Отметим, что теорема 3 по сути дела доказана в § 9.13. Здесь мы привели доказательство, использующее понятие сходимости двойного ряда.
В заключение заметим, что можно рассматривать
-кратные ряды 
.
З а м е ч а н и е 2. Выше мы ввели понятие прямоугольных частичных сумм
, содержащих
членов ряда (1)
. Любую сумму, состоящую из конечного числа
слагаемых ряда (1), принято также называть частичной суммой этого ряда.
В случае кратного ряда (1) частичные суммы, содержащие
членов ряда, которые мы будем обозначать через
, можно строить различными способами. Например, можно взять частную сумму, содержащую члены ряда с индексами
, отвечающими точкам плоскости
, принадлежащим кругу радиуса
с центром в начале координат (рис. 109)
.

Рис. 109 Рис. 110
Отметим, что числа
и
связаны соотношением
(можно доказать, что количество точек
с целочисленными координатами, находящимися в круге радиуса
, пропорционально площади этого круга).
Сумма
называется круговой (сферической) частичной суммой ряда (1).
Для
-кратного ряда
сферическая сумма имеет вид
.
Если в частичную сумму включить члены ряда (1) с индексами
, удовлетворяющими условию
,
то соответствующая сумма
называется треугольной (рис. 110) частичной суммой ряда (1).
В зависимости от характера частичных сумм можно определить различные виды сходимости ряда (1) (по сферам, треугольникам, и т. п.).
Ряд (1) называется сходящимся к числу
по сферам, если
такое, что при
выполняется неравенство
.
Аналогично определяется сходимость по треугольникам. Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой различные виды сходимости кратного ряда (1), но мы не будем на этом останавливаться.
З а д а ч и.
1. Исследовать, при каких
сходится тройной (трехкратный) ряд
.
О т в е т:
.
2. Исследовать, при каких
сходится
-кратный ряд
.
О т в е т:
.
3. Исследовать, при каких
сходится двойной ряд
.
О т в е т:
.
4. Исследовать, при каких
, сходится двойной ряд
.
О т в е т:
.
5. Исследовать, при каких
, сходится
-кратный ряд
.
О т в е т:
.