§ 9.16. Суммирование рядов и последовательностей

Пусть задан числовой ряд

                                   (1)

и последовательность его частичных сумм

.                         (2)

Ряд (1) может быть сходящимся или расходящимся.

Последовательность

          (3)

называется последовательностью средних арифметических последовательности  или ряда (1). Легко подсчитать, что

.

Таким образом, члены суммы  отличаются от соответствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что последние умножаются на числа , меньшие единицы. Поэтому, если последовательность  расходится, то может случиться, что последовательность  все же сходится.

По определению ряд (1) (или последовательность ) суммируется методом средних арифметических к числу , если существует предел

.                               (4)

Т е о р е м а. Если ряд (1) сходится к числу , то он суммируется методом средних арифметических и притом к тому же числу .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое число , что

,                  (5)

и такое достаточно большое натуральное число , которое мы будем считать фиксированным (а , и в дальнейшем  - переменными), что

.              (6)

Имеем, далее,

,

откуда, учитывая, что

,

получим

,

если  достаточно велико. Следовательно,  или, что все равно, , т. е. теорема верна.

П р и м е р   1. Рассмотрим сходящийся ряд . Здесь

.

Отсюда

.

П р и м е р   2. Ряд  расходится, но он суммируется к числу  методом средних арифметических.

В самом деле, для данного ряда .

Поэтому

;

 

.

Наряду с последовательностью  средних арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние  ряда (1), определяемые равенством

,                             (7)     

где  - произвольная последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от . Эти числа можно было бы обозначить через . Однако ради краткости будем писать  вместо .

Если , то .

Если существует предел

,                                (8)

то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних  к числу .

Естественно возникает вопрос, при каких  сходящийся к  ряд (1) суммируется методом  к числу .

Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, что ;  при ; .

Тогда

.             (9)

Имеет место преобразование Абеля следующего вида (см. также § 9.8):

,

где .

Тогда

,                                         (10)

где  - частичные суммы ряда (1).

Далее, используя (9), имеем

.                        (11)

Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим

.        (12)

Теперь, если ряд (1) сходится к числу  (сумме ряда), то последовательность  сходится к нулю. Средние арифметические этой последовательности, по доказанному выше, также сходятся к нулю.

Поэтому из (12) получаем следующее утверждение: если числа  таковы, что

,                         (13)

то сходящийся ряд (1) суммируется методом средних  к своей сумме.

Заметим, что для средних арифметических  условие (13) выполнено:

.