§ 9.16. Суммирование рядов и последовательностей
Пусть задан числовой ряд
(1)
и последовательность его частичных сумм
. (2)
Ряд (1) может быть сходящимся или расходящимся.
Последовательность
(3)
называется последовательностью средних арифметических последовательности
или ряда (1). Легко подсчитать, что
.
Таким образом, члены суммы
отличаются от соответствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что последние умножаются на числа
, меньшие единицы. Поэтому, если последовательность
расходится, то может случиться, что последовательность
все же сходится.
По определению ряд (1) (или последовательность
) суммируется методом средних арифметических к числу
, если существует предел
. (4)
Т е о р е м а. Если ряд (1) сходится к числу
, то он суммируется методом средних арифметических и притом к тому же числу
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое число
, что
, (5)
и такое достаточно большое натуральное число
, которое мы будем считать фиксированным (а
, и в дальнейшем
- переменными), что
. (6)
Имеем, далее,

,
откуда, учитывая, что
,
получим
,
если
достаточно велико. Следовательно,
или, что все равно,
, т. е. теорема верна.
П р и м е р 1. Рассмотрим сходящийся ряд
. Здесь
.
Отсюда

.
П р и м е р 2. Ряд
расходится, но он суммируется к числу
методом средних арифметических.
В самом деле, для данного ряда
.
Поэтому
;
.
Наряду с последовательностью
средних арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние
ряда (1), определяемые равенством
, (7)
где
- произвольная последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от
. Эти числа можно было бы обозначить через
. Однако ради краткости будем писать
вместо
.
Если
, то
.
Если существует предел
, (8)
то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних
к числу
.
Естественно возникает вопрос, при каких
сходящийся к
ряд (1) суммируется методом
к числу
.
Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, что
;
при
;
.
Тогда
. (9)
Имеет место преобразование Абеля следующего вида (см. также § 9.8):
,
где
.
Тогда
, (10)
где
- частичные суммы ряда (1).
Далее, используя (9), имеем
. (11)
Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим

. (12)
Теперь, если ряд (1) сходится к числу
(сумме ряда), то последовательность
сходится к нулю. Средние арифметические этой последовательности, по доказанному выше, также сходятся к нулю.
Поэтому из (12) получаем следующее утверждение: если числа
таковы, что
, (13)
то сходящийся ряд (1) суммируется методом средних
к своей сумме.
Заметим, что для средних арифметических
условие (13) выполнено:
.