§ 2.7. Принцип вложенных отрезков

Т е о р е м а 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)

,

вложенных друг в друга, т. е. таких, что , с длинами, стремящимися к нулю.

.

Тогда существует и притом единственная точка  (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что

при любом заданном натуральном . Это показывает, что числа  не убывают и ограничены сверху числом  при любом  и, согласно теореме 1 § 2.5, существует число , к которому стремится переменная . При этом  . Так как в этих неравенствах натуральные   и  произвольные, то, в частности,   . Следовательно, , каково бы ни было .

Найденная точка  - единственная. Допустим, что существует другая точка . Тогда , откуда

но это противоречит тому, что .

З а м е ч а н и е. В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки , а не интервалы, как показывает следующий пример. Интервалы  вложены друг в друга, их длина , но нет ни одной точки, принадлежащей одновременно коэффициентов отражения всем этим интервалам.

В самом деле, любая точка  не принадлежит к любому из интервалов . Если же , то найдется такое , что   и  .