§ 2.7. Принцип вложенных отрезков
Т е о р е м а 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)
,
вложенных друг в друга, т. е. таких, что
, с длинами, стремящимися к нулю.
.
Тогда существует и притом единственная точка
(число), одновременно принадлежащая всем отрезкам
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что

при любом заданном натуральном
. Это показывает, что числа
не убывают и ограничены сверху числом
при любом
и, согласно теореме 1 § 2.5, существует число
, к которому стремится переменная
. При этом
. Так как в этих неравенствах натуральные
и
произвольные, то, в частности,
. Следовательно,
, каково бы ни было
.
Найденная точка
- единственная. Допустим, что существует другая точка
. Тогда
, откуда

но это противоречит тому, что
.
З а м е ч а н и е. В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки
, а не интервалы, как показывает следующий пример. Интервалы
вложены друг в друга, их длина
, но нет ни одной точки, принадлежащей одновременно коэффициентов отражения всем этим интервалам.
В самом деле, любая точка
не принадлежит к любому из интервалов
. Если же
, то найдется такое
, что
и
.