§ 2.6. Число e

Рассмотрим последовательность

.

Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограничена сверху. На основании формулы бинома Ньютона

имеем

                   (1)

Из данного равенства видно, что последовательность . Докажем, что последовательность  ограничена сверху. Из равенства (1) имеем

.

Покажем, что последовательность  возрастающая. По аналогии с (1) имеем

             (2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что  (в (2) каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в (1), и, кроме того, имеется на одно положительное слагаемое больше). По теореме 1 § 2.5 последовательность  сходится. Обозначим ее предел буквой ,  как это предложил впервые Л. Эйлер

.

Из сказанного ясно, что . Более точное значение

.

В будущем (в § 4.16) будет доказана формула, из которой следует, что

,                                  (3)

где  - некоторое зависящее от  число, удовлетворяющее неравенствам . С помощью этой формулы нетрудно доказать, что  есть число иррациональное. Допустим, что , где  и  натуральные. Тогда, положив в (3)  , будем иметь

.

Умножая на , получаем

,                                         (4)

где  - натуральное число. Мы получили противоречие – левая часть (4) есть целое число, а правая , есть правильная дробь.