§ 2.5. Монотонные последовательности
О п р е д е л е н и е. Последовательность
называется неубывающей (невозрастающей) , если
справедливо неравенство
.
Если на самом деле выполняются строгие неравенства
, то последовательность
называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.
Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки 
, откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.
П р и м е р ы:
1)
- невозрастающая последовательность.
2)
- возрастающая последовательность.
Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в § 1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств – свойство V – множества действительных чисел.
Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел
(1)
не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом
(соответственно
), то существует действительное число
, не превышающее
(не меньшее
), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:
(2)
(соответственно
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока
, тогда и все 
. Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:
. (3)
Так как последовательность
ограничена сверху числом
и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу
:
,
но тогда
стремится к
как к своему пределу:
.
В самом деле, для любого
найдется натуральное
такое, что
. Так как
стабилизируется к
, то

для всех
, где
достаточно велико, но тогда
,
т. е.
при
.
Если
, то прибавим к
число
настолько большое, что
, и положим
.
Последовательность
не убывает, ограничена сверху числом
и ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел
, но тогда существует также предел
, и теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.
Если теперь последовательность
не возрастает и ограничена снизу числом
, то последовательность чисел
не убывает и ограничена сверху числом
, и, на основании уже доказанного, существует предел
, который мы обозначили через
. Следовательно, существует также
. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е. Если последовательность действительных чисел
сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если
,
где после запятой стоят
нулей или
девяток, то последовательность
имеет предел, равный 1
, однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.
П р и м е р 1. Приведем новое доказательство равенства (см. пример 8 § 2.1)
, (4)
Пусть пока
. Тогда переменная
не возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теореме 1 существует число
, к которому стремится
:
.
Имеем также
,
откуда
и
, потому что
.
Если теперь
, то на основании уже доказанного,
. Равенство (4) доказано полностью. Это доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, которое было приведено в примере 8 § 2.1, но оно не дает возможности судить о скорости стремления
к нулю – не дается эффективно число
, начиная с которого
.
П р и м е р 2. Справедливо равенство
, (5)
где
- произвольное число.
При
оно очевидно. Пусть
. Положим
.
Тогда
. Отсюда следует, что
, где
достаточно велико.
Таким образом, переменная
для
, убывает. Кроме того, она ограничена снизу числом 0. Но тогда существует предел
.
Но также
,
и мы доказали равенство (5) для любого
. Но оно верно и для любого
, потому что
при
.