§ 2.5. Монотонные последовательности

О п р е д е л е н и е. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей) , если справедливо неравенство

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

П р и м е р ы:

1) - невозрастающая последовательность.

2) - возрастающая последовательность.

Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в § 1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств – свойство V – множества действительных чисел.

Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел

(1)

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом (соответственно ), то существует действительное число , не превышающее (не меньшее ), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

(2)

(соответственно ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока , тогда и все . Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:

. (3)

Так как последовательность ограничена сверху числом и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу :

но тогда стремится к как к своему пределу:

В самом деле, для любого найдется натуральное такое, что . Так как стабилизируется к , то

для всех , где достаточно велико, но тогда

т. е. при .

Если , то прибавим к число настолько большое, что , и положим .

Последовательность не убывает, ограничена сверху числом и ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел , но тогда существует также предел , и теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность не возрастает и ограничена снизу числом , то последовательность чисел не убывает и ограничена сверху числом , и, на основании уже доказанного, существует предел , который мы обозначили через . Следовательно, существует также . Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если последовательность действительных чисел сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если

где после запятой стоят нулей или девяток, то последовательность имеет предел, равный 1 , однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.

П р и м е р 1. Приведем новое доказательство равенства (см. пример 8 § 2.1)

, (4)

Пусть пока . Тогда переменная не возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теореме 1 существует число , к которому стремится :

Имеем также

откуда и , потому что .

Если теперь , то на основании уже доказанного, . Равенство (4) доказано полностью. Это доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, которое было приведено в примере 8 § 2.1, но оно не дает возможности судить о скорости стремления к нулю – не дается эффективно число , начиная с которого .