§ 2.4. Неопределенные выражения

1. Пусть .

Рассмотрим последовательность . О пределе этой последовательности заранее ничего определенного сказать нельзя, как это показывают конкретные примеры.

Если  

если    

если   

если  и предел этой последовательности не существует.

Таким образом, для нахождения предела  недостаточно знать, что , . Нужны  еще дополнительные сведения о характере изменения  и . Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.

Говорят, что выражение  при ,  представляет собой неопределенность вида .

2. Если  , , то выражение  также представляет собой неопределенность и ее называют неопределенностью вида .

3. Если  , , то для выражения  получаем неопределенность вида .

4. Если , , то выражение  представляет неопределенность вида.

Для каждого из отмеченных случаев можно привести примеры.

Раскрыть соответствующую неопределенность – это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако, не всегда просто.

П р и м е р 1. Если

,

,

то при   для выражения   мы имеем неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность.

а) Если  , то, деля числитель и знаменатель на ,  получаем

 

при , т. е   - отношению коэффициентов при старших степенях  в выражениях для   и  .

б) Аналогично можно показать, что при  , а при  .

П р и м е р  2. Если , , то при  для выражения  имеем неопределенность вида .

Раскроем эту неопределенность:

,

 при . Значит .