§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины

Переменная , имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной или, короче, бесконечно малой.

Таким образом, переменная  есть бесконечно малая, если для любого  найдется  такое, что .

Нетрудно видеть, что для  того, чтобы переменная  имела предел , необходимо и достаточно, чтобы , где  есть бесконечно малая.

Переменная  называется бесконечно большой, если для любого  найдется такое  , что  . При этом пишут

, или                                  (1)

и говорят, что  стремится к бесконечности.

Если бесконечно большая , начиная с некоторого , принимает только положительные значения или только отрицательные значения, то пишут

, или                                      (2) 

соответственно

, или                                        (3)

Таким образом, из (2), так же как из (3), следует (1). Пример переменной  показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).

Отметим следующие очевидные свойства:

1. Если переменная ограничена, а  бесконечно большая, .

2. Если абсолютная величина  ограничена снизу положительным числом, а  - не равная нулю бесконечно малая, то .

Докажем только второе свойство. Дано, что для некоторого числа  имеет место неравенство  и для всякого  существует  такое, что

.                                      (4)

Тогда

.

Зададим произвольное положительное число  и подберем по нему  так, чтобы , а по  подберем такое , чтобы имело место свойство (4). Тогда ,  что и требовалось доказать.

Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия:

.

Отметим, что если последовательность  неограничена, то она не обязательно бесконечно большая. Например, последовательность

неограничена, но она не является бесконечно большой, так как в ней имеются как угодно малые члены с каким угодно большим (нечетным) номером.

З а м е ч а н и е. Любая не равная нулю постоянная величина (последовательность) не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только одна – равная нулю.  Если про некоторую величину известно, что она постоянна и ее абсолютная величина меньше любого положительного числа , то она равна нулю.

Т е о р е м а 1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью, т. е. если  и , то .

В самом деле, зададим  и подберем  так, чтобы

.

Тогда

,

что и требовалось доказать.