§ 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел

Пусть  и  обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности   и . По определению сумма , разность , произведение  и частное  суть переменные, пробегающие соответственно последовательности , , , . В случае частного предполагается, что   для всех .

Если  для , то в этом случае пишут  вместо .

Справедливы следующие утверждения:

,                                            (1)

,                                               (2)

, если .                                          (3)

              Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если существуют конечные пределы  и , то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной оговоркой) и выполняются равенства (1) – (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и . Зададим   и подберем  так, чтобы

.

Тогда

,

и мы доказали (1).

Чтобы доказать (2), заметим, что

         (4)

Так как   имеет предел, то (по теореме 2 предыдущего параграфа) существует положительное число  такое, что

,                              (5)

.                                               (6)

Подберем число  так, чтобы

.                         (7)

Тогда из (4) – (7) следует, что

.

Этим доказано равенство (2).

Пусть теперь к условию, что  и , добавится условие, что  . Тогда

.             (8)

Теперь уже удобно использовать теорему 3 предыдущего параграфа, в силу которой

                            (9)                                                                                              

для достаточно большого . Зададим  и подберем  и   такие, чтобы

,                             (10)

.                             (11)

Тогда, положив , будем в силу (8) – (11) иметь

,

что доказывает равенство (3).

Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (1) – (3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы  и . Например, если , , то  и  не имеют пределов, в то время как , .

Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен,  если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими переменными, существование и величина пределов которых известны.

Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле для инициативы математика.

П р и м е р 1. Пусть .

Доказать, что

.

Имеем

.

Так как  при  , то, применяя формулы (1), (2), получаем

.

В дальнейшем под символом

будем понимать . Таким образом,

.