§ 2.1. Понятие предела последовательности

Глава 2. Предел последовательности

§ 2.1. Понятие предела последовательности

Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число .

Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел или, короче, последовательность

Говорят еще, что переменная пробегает значения последовательности .

Отдельные числа последовательности называются ее элементами. Надо иметь в ввиду, что и при считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой, т. е. может быть .

Если положить , то последовательность

превратится во множество

которое в § 1.6 тоже было названо последовательностью.

В этой главе мы будем рассматривать последовательности действительных чисел, и это обстоятельство не будем оговаривать особо.

Примеры последовательностей:

П р и м е р 1. .

П р и м е р 2. .

П р и м е р 3. .

П р и м е р 4. .

П р и м е р 5. .

П р и м е р 6. .

В примере 2 переменная для четных принимает одно и то же значение:

Тем не менее, мы считаем, что элементы различны.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то ее называют постоянной.

Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2 и 4 ограничены (см. § 1.6). В этом случае говорят также, что соответствующие переменные, пробегающие эти последовательности, ограничены. Что касается последовательностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограниченны. Однако последовательность в примере 3, очевидно, ограничена снизу числом 2. Что касается последовательности в примере 6, то она не ограничена как снизу, так и сверху.

Введем понятие предела последовательности.

О п р е д е л е н и е 1. Число называется пределом последовательности , если для всякого найдется (зависящее от ) число такое, что выполняется неравенство

(1)

для всех (натуральных) .

В этом случае пишут

или

и говорят, что переменная или последовательность имеет предел, равный числу , или стремится к . Говорят также, что переменная или последовательность сходится к числу .

Если , то, очевидно, .

З а м е ч а н и е. Если , то ; и обратно. Это следует из того факта, что если

то

и обратно.

Переменная примера 1 имеет предел, равный 0:

. (2)

В самом деле, зададим произвольное и решим неравенство:

или .

Этим для всякого найдено число такое, что неравенство

выполняется для всех , и мы доказали равенство (2).

П р и м е р 7. Переменная примера 4 стремится к 1:

. (3)

В самом деле, составим неравенство

Оно, как мы видели, выполняется для любого , если . Это доказывает равенство (3).

П р и м е р 8. Если , то

. (4)

В самом деле, пусть пока . Неравенство

верно, если

т. е. если

Мы доказали (4) при . Если , то равенство (4) тривиально. Ведь в этом случае переменная есть постоянная, равная нулю:

П р и м е р 9. Разложим положительное число в бесконечную десятичную дробь:

Для его - й срезки

имеет место равенство

. (5)

В самом деле,

Но если задать , то всегда найдется такое , что

(см. предыдущий пример, где надо считать ). Поэтому

и мы доказали (5).

З а м е ч а н и е. Срезки - рациональные числа. Из (5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Таким образом, всякое иррациональное число можно приблизить рациональным числом с любой наперед заданной степенью точности.

В силу этого свойства про множество рациональных чисел говорят, что оно всюду плотно в множестве всех действительных чисел.

Неравенство

эквивалентно двум неравенствам

или ,

что эквивалентно тому факту, что точка принадлежит к - окрестности точки :

(см. § 1.10).

Тогда определение предела можно выразить следующими словами: Число (точка) есть предел переменной , если, каково бы ни было , найдется такое число , что все точки с индексами попадут в - окрестность точки :

Очевидно, какова бы ни была окрестность точки , найдется такое , что интервал содержится в , т. е. (рис. 7).

Поэтому тот факт, что можно выразить еще и так: какова бы ни была окрестность точки , все точки , начиная с некоторого номера , должны попасть в эту окрестность, т. е. должно существовать такое число , что . Что же касается точек с индексами , то они могут принадлежать и могут не принадлежать к . Таким образом, если вне имеются точки , то их конечное число.

Рис. 7 Рис. 8

С другой стороны, если известно, что вне имеется только конечное число точек , то, обозначив

т. е. максимум среди индексов , мы можем сказать, что точки с индексом попадут в интервал . Поэтому понятие предела можно сформулировать и так: переменная имеет своим пределом точку , если вне любой окрестности этой точки имеется конечное или пустое множество точек .

П р и м е р 10. Переменная

(6)

ни к какому пределу не стремится.

В самом деле, допустим, что эта переменная имеет предел, равный числу . Рассмотрим окрестность этой точки

Длина ее равна . Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1 и точку -1 , потому что расстояние между этими точками равно . Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит к нашей окрестности. Но для , т. е. вне нашей окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности.

Таким образом, точка не может быть пределом нашей последовательности, и так как эта точка произвольна, то последовательность (6) не имеет предела.

Т е о р е м а 1. Если переменная имеет предел, то он единственный.

В самом деле, допустим, вопреки теореме, что имеет два различных предела и . Покроем точки соответственно интервалами , настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались (рис. 8). Так как , то в интервале находятся все элементы , за исключением конечного их числа, но тогда интервал не может содержать в себе бесконечное число элементов и не может стремиться к . Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Т е о р е м а 2. Если последовательность сходится (имеет предел), то она ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Зададим и подберем натуральное так, чтобы

но тогда и выполняется неравенство

для всех . Пусть - наибольшее среди чисел

Тогда, очевидно,

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости последовательности, но не достаточным, как показывает пример 10.

Т е о р е м а 3. Если переменная имеет не равный нулю предел , то найдется такое , что

для .

Больше того, для указанных , если , то , если же , то . Таким образом, начиная с некоторого номера, сохраняет знак .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда для должно найтись число такое, что

откуда , и первое утверждение теоремы доказано. С другой стороны, неравенство эквивалентно следующим двум:

Тогда, если , то

а если , то

и этим второе утверждение теоремы доказано.

Т е о р е м а 4. Если , и для всех , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что . Зададим и подберем числа и так, чтобы : это возможно, потому что , а .

Если , то, очевидно, , и мы пришли к противоречию, так как по условию для всех .

С л е д с т в и е. Если элементы сходящейся последовательности принадлежат , то ее предел также принадлежит .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, . Если , то по теореме 4 , что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Для интервала для конечных и можно утверждать только, что если , то . Таким образом, неравенства в пределе сохраняются или обращаются в равенство. Например, , но .