§ 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел.  Несчетность множества действительных чисел

Выше мы определили понятие равенства множеств. Для характеристики степени насыщенности бесконечных множеств элементами удобным является понятие эквивалентности множеств. Множество  называется бесконечным, если  в множестве  имеются элементы, количество которых больше . Два множества  и  называют эквивалентными, и при этом пишут , если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , т. е. существует такое правило, закон, по которому  соответствует вполне определенный элемент . При этом, в силу этого правила, двум разным элементам  соответствуют два разных элемента   и каждый элемент  соответствует некоторому элементу .

Рис. 6

Например, если  - множество точек на окружности радиуса ,  - множество точек на концентрической окружности радиуса , то очевидно, что  (рис. 6).

Очевидно, что если  , то .

Если , то множество называется счетным. Естественно, что само множество натуральных чисел   является счетным (соответствие устанавливается по схеме  ). Множество всех четных натуральных чисел  эквивалентно всему множеству , причем соответствие устанавливается по схеме . Отметим, что здесь , . Таким образом, истинное подмножество (часть) множества оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство присуще только бесконечным множествам (его можно принять за определение бесконечного множества).

Из определения счетности множества вытекает, что его элементы можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записывать в виде последовательности его элементов:

.

Счетная (теоретико-множественная) сумма.

счетных (или конечных) множеств  есть счетное множество. В самом деле, запишем элементы   в виде таблицы:

Перенумеруем их в следующем порядке:

выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь может случиться, что  и  имеют общие элементы. В результате, получим бесконечную последовательность элементов , очевидно, исчерпывающих множество . Это доказывает, что  - счетное множество.

Аналогично доказывается, что конечная сумма счетных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счетное, счетна.

Теорема 1. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство. Рассмотрим сначала положительные рациональные числа . Назовем натуральное число  высотой рационального числа . Пусть  - множество всех рациональных чисел с высотой, равной . Множества  состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например

.

Легко видеть, что ,

Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе нумерации те, которые были уже занумерованы на более раннем этапе. В результате получим последовательность

.

Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа. Значит,  счетно. Далее, очевидно, что  счетно. Поэтому все множество рациональных чисел  также счетно.

Теорема 2. Множество всех действительных чисел несчетно.

Доказательство. Для доказательства достаточно установить, что множество действительных чисел интервала  образует несчетное множество. Допустим противное, что интервал  есть счетное множество, т. е. все его точки можно перенумеровать:

Но это предположение противоречиво. В самом деле, построим вещественное число , где цифры  подобраны так, чтобы  и . Ясно, что , однако  не совпадает ни с одним из чисел , так как иначе должно было бы быть , что не имеет места.