§ 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество

Пусть числа (точки)  и  удовлетворяют неравенству .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком (с концами ,  ) или сегментом и обозначается так: .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам , называется интервалом (с концами ,  ) или открытым отрезком и обозначается так: .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам  или , обозначаются соответственно ,  и называются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа.

Часто рассматриваются еще множества, называемые бесконечными интервалами и полуинтервалами: 1)  , 2) , 3) , 4) , 5) .

Первое из них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответственно: 2) , 3) , 4) ,   5) .

Символы  и  удобно называть бесконечными числами, а обычные числа – конечными числами.

Отметим, что, назвав символы  и  бесконечными числами, мы вовсе не считаем их числами.

Подчеркнем, что у отрезка  концы – конечные числа, у интервала же  его «концы» могут быть конечными и бесконечными. У полуинтервала  число  всегда конечное, а может быть конечным и бесконечным . Аналогично у полуинтервала  число  конечное или бесконечное , а   всегда конечное.

Если  и  конечны, и , то  называется длиной сегмента , или интервала ,  или полуинтервалов .

Если  и  - произвольные точки действительной оси, то число  называется расстоянием между точками  и .

Произвольный интервал , содержащий точку , мы будем называть окрестностью точки . В частности, интервал   называют                               - окрестностью точки .

Пусть  есть произвольное множество действительных чисел. Говорят, что множество  ограничено сверху, если  (действительное) число  такое, что ; ограничено снизу, если  число  такое, что ; и ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. Число  называется верхней (нижней) границей множества . Число  называется также мажорантой множества .

Можно еще, очевидно, сказать, что множество  ограничено, если  число  такое, что , так как неравенство эквивалентно двум неравенствам .

 Если множество  не является ограниченным, то его называют неограниченным. Его можно определить следующим образом: множество  действительных чисел неограниченно, если . К этой формулировке можно прийти, исходя из правила построения отрицания данной логической формулы.

Примеры. Отрезок  есть ограниченное множество. Интервал  есть ограниченное множество, если  и  конечны,  и неограниченное, если   или  .