§ 1.9. Неравенства для абсолютных величин

Неравенство

                                       (1)                                                                                                                            

эквивалентно двум неравенствам

.                                      (1’)                                                                                                                  

Отсюда неравенство

                                           (2)

эквивалентно неравенствам

.                                  (2’)                                                                                                           

Аналогично неравенство

.                                        (3)

эквивалентно неравенствам

.

Справедливы также неравенства

,                                         (4)

.                                         (5)

Неравенство (4) можно получить, рассмотрев отдельно четыре случая: 1) ;   2) ; 3) ; 4) . Например, в случае 2)

,

а в случае 3), если допустить, что  ,

.

Случай 3) при допущении  читатель разберет сам, так же, как случай 1). Случай 4) сводится к случаю 3). Далее, в силу (4)

,

т. е.

.

но тогда верно (5).