§ 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа

Мы назвали бесконечные десятичные дроби действительными числами, ввели для них понятия  и арифметические операции, и сформулировали их основные свойства I – V,  которые могут быть доказаны.

Нужно сказать, что свойства I – V подобраны экономно и полно, настолько, что из них можно получить логически все остальные свойства чисел.

Существует аксиоматический подход к определению действительного числа, заключающийся в том, что действительными числами называются некоторые объекты (вещи) , удовлетворяющие свойствам  I – V. При таком подходе свойства  I – V называются аксиомами числа.

При аксиоматическом подходе формулировки свойств (теперь аксиом) должны быть несколько видоизменены. Аксиомы II теперь уже формулируются так: каждой паре чисел, в силу некоторого закона, соответствует число , называемое их суммой, при этом выполняются аксиомы  -. Аксиома  должна быть сформулирована в виде: существует число 0 (нуль) такое, что  для всех . Аксиома  формулируется так: для любого числа  существует число, обозначаемое через  такое, что . Наконец, аксиома  принимает вид: существует число 1 (единица), отличное от 0, такое, что  для всех .

Обозначим через  множество всех действительных чисел, т. е. всех вещей, подчиняющихся аксиомам I – V . Тогда в   имеется нуль 0 и единица 1. С помощью аксиом можно доказать, что  и имеют смысл числа   и числа . В результате получим множество всех целых чисел (различных между собой!)

.

На основании аксиом эти числа можно делить друг на друга, исключая деление на 0. Поэтому в  есть рациональные числа . Но тогда в  имеются также и конечные десятичные дроби. Из последних можно построить ограниченные сверху неубывающие последовательности. На основании аксиомы V в  должны существовать  пределы таких последовательностей. Некоторые из этих пределов не являются конечными десятичными дробями  - это числа, отличные от конечных десятичных дробей. Их удобно записывать в виде бесконечных десятичных дробей. В результате, от аксиом с помощью логических рассуждений можно прийти к бесконечным десятичным дробям. Конечно, мы здесь привели  только схему рассуждений, которая не претендует на доказательство.

Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиоматического подхода.

Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем: числа суть абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, а десятичные дроби – формальные символы, их представляющие.