§ 1.7. Основные свойства действительных чисел

I. Свойства порядка.

. Для каждой пары действительных чисел  и  имеет место одно и только одно соотношение:

.

.  Из   и   следует  (транзитивное свойство знака ).

.  Если  , то найдется такое число , что .

II. Свойства действий сложения и вычитания.

.  (переместительное или коммутативное свойство).

.  (сочетательное или ассоциативное свойство).

. .

. .

. Из   следует, что  для любого .

Число   естественно назвать разностью , т. е. писать , потому что, если его добавить к , то получим :

.

Из приведенных свойств легко следует, что разность единственна. Можно доказать, что так определенная разность совпадает с разностью, определенной формулой (12) § 1.6.

III. Свойства действий умножения и деления.

.  (переместительное или коммутативное свойство).

.   (сочетательное или ассоциативное свойство).

.  .

.  .

.  (распределительный или дистрибутивный закон).

. Из    следует .

Число   естественно назвать частным    , потому что, если его умножить на , то получим :

.

Из приведенных свойств легко следует, что частное от деления  на  единственно. Можно доказать, что так определенное частное совпадает с частным, определенным формулой (13) § 1.6.

IV. Архимедово свойство. Каково бы ни было число , существует натуральное . В самом деле, если  , то можно взять .

Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует, что, каково бы ни было положительное число  , всегда можно указать такое натуральное , что выполняется неравенство .

В самом деле, согласно IV для числа  можно указать натуральное  такое, что  , что в силу  влечет нужное неравенство.

Заметим, что для данного числа   в ряду  целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное , для которого выполняются неравенства  .

Свойство V. Если последовательность действительных чисел  не убывает и ограничена сверху числом , то существует число , к которому эта последовательность стремится, как к своему пределу:

.

Это значит, что для всякого как угодно малого положительного числа  найдется натуральное число , такое, что

  для всех  .

Доказательство свойства V мы не будем считать обязательным, но оно приведено               (см. далее § 2.5, теорема 1). Как мы увидим,  свойство V есть непосредственное следствие леммы 2 § 1.6, в которой, в частности, утверждалось, что неубывающая ограниченная сверху числом последовательность бесконечных десятичных дробей стабилизируется к некоторой десятичной дроби  .

Дело в том, что из того, что  стабилизируется к  , следует, что  стремится  к ,  как к своему пределу.