1.6.3. Определение арифметических действий.

Теперь у нас есть возможность дать определение арифметических действий над действительными числами.

Для произвольного числа   введем его  -ю срезку   - конечную десятичную дробь. Мы считаем, что операция с конечными десятичными дробями читателю известны.

Зададим два положительных числа

,

разложенные в бесконечные десятичные дроби. Введем последовательность чисел

.

Очевидно, эта последовательность не убывает, кроме того, она ограничена сверху:

.

Но тогда, на основании леммы 2 десятичные разложения нашей последовательности стабилизируются к некоторой десятичной дроби – действительному числу -  . Это число и называется по определению суммой чисел   и :

.

Итак, мы определяем сумму  как число, к которому стабилизируется  :

                                   (10)                                                                                                        

Чтобы определить произведение положительных чисел   и  , вводим срезку

                                    (11)

- конечную десятичную дробь. Последовательность этих срезок, очевидно, не убывает (при возрастании ) и ограничена сверху:

.

Поэтому по лемме 2 выражение (11) стабилизируется к некоторому числу, которое и называется произведением :

.

Отметим неравенства

,

т. е.

.

Величина  приближается к  (при возрастании ), не убывая. Что же касается величины  , то она приближается к , не возрастая:

.

Это обстоятельство будет использовано при определении разности и частного положительных чисел.

Если , то разность  определяется как десятичная дробь (число), к которой стабилизируется последовательность конечных десятичных дробей:

;                               (12)                                                                                             

если  , то частное  определяется как десятичная дробь, к которой стабилизируется последовательность конечных дробей:

.                                          (13)                                                                                

Надо учесть, что  при возрастании  не убывает, а   не возрастает, и потому выражения слева в (12), (13) не убывают. Кроме того они ограничены сверху:

,

,

где  таково, что . Поэтому по лемме 2 выражения слева в (12) и (13) действительно стабилизируются.

Положим еще

.                    (14)

Мы определили для неотрицательных чисел  их сумму, разность, произведение и частное, предполагая в случае разности, что , и в случае частного, что . Эти определения распространяются обычными способами на числа  и   произвольных знаков. Например, если , то полагаем  . Если же  и - числа разных знаков и , то полагаем  , где   выбирается знак, одинаковый со знаком . В частности, имеет место

для любого .

Подобные правила можно было бы привести для остальных арифметических действий, но в этом нет необходимости – они хорошо известны из курса алгебры.