1.6.2.  Стабилизирующиеся последовательности.

Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) , в силу некоторого закона, приведено в соответствие число  . Совокупность

                                  (1)

называется последовательностью (чисел). Отдельные числа  последовательности (1) называются ее элементами. Элементы  и  при  считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой  .

Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если    для всех .

Будем говорить, что последовательность (1) ограничена сверху (числом ), если существует число  такое, что  для всех .

Последовательность  (1) ограничена снизу (числом ), если существует число  такое, что  для всех .

Если числа  последовательности (1) целые, то будем говорить, что она стабилизируется   к числу , если найдется такое  , что  для всех , и писать  .

Лемма 1. Если последовательность целых неотрицательных чисел не убывает и ограничена сверху числом , то она стабилизируется к некоторому целому числу .

Доказательство. Хотя количество элементов у нашей последовательности бесконечно, но она пробегает конечное число целых чисел. Ведь эти числа не превышают . Пусть  - наибольшее среди этих чисел. Таким образом, и существует такое натуральное , при котором . Но наша последовательность не убывает, и потому  для всех , т.е. наша последовательность стабилизируется к числу  () .

Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных десятичных дробей, не имеющих период 9:

                                (2)

Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матрицу).

Будем говорить, что последовательность (2) стабилизируется к числу , и писать                

,                                          (3)

если - й столбец таблицы (2) стабилизируется к , каково бы ни было , т. е.  для любого фиксированного  .

Лемма 2.  Если неубывающая последовательность (2) десятичных дробей, не имеющих период 9, ограничена сверху числом , то она заведомо стабилизируется к некоторому числу , удовлетворяющему неравенствам

                              (4)

В самом деле, считаем, что дробь  не имеет период 9. Целые числа нулевого столбца матрицы (2)

также не убывают и ограничены сверху числом , поэтому, согласно лемме 1, они стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числу . Пусть эта стабилизация имеет место, начиная с номера , т. е. , .

                Докажем теперь, что первый столбец в (2)

также стабилизируется к некоторой цифре   и имеет место неравенство

.

                В самом деле, раз десятичные разложения чисел   при   имеют вид

и, кроме того, не убывает, то для указанных  цифры первого столбца  () тоже не убывают и, следовательно, по лемме 1 стабилизируются к некоторой цифре . Пусть эта вторая стабилизация наступает, начиная с номера , т. е. при  

.

При этом очевидно, что

Рассуждая теперь по индукции, допустим, что уже доказано, что столбцы матрицы (2) с номерами, не превышающими  , стабилизируются соответственно к   и

                          (5)                                                                     

Докажем, что  – й столбец в (2) также стабилизируется к некоторой цифре   и имеет место неравенство

.                                (6)                                                                                                     

В самом деле, раз десятичные разложения чисел   при  имеют вид

и, кроме того,  не убывает, то для указанных  цифры  () не убывают и, следовательно, стабилизируются при , где  достаточно велико, к некоторой цифре . При этом очевидно, что

,

и мы доказали неравенство (6). Положим . Очевидно, что .

Докажем первое неравенство (4). Сравним числа

,

.

Если все соответствующие компоненты обоих разложений равны (, ), то . В противном случае при некотором

                                 (7)                                                                               

При этом, если  , то равенства в (7) надо опустить. Но тогда   и мы доказали первое неравенство (4).

Остается доказать второе неравенство (4). Если  - конечная десятичная дробь, то оно следует из (5) при . Пусть теперь

                             (8)                                                                                                               

- бесконечная десятичная дробь и как условились . Если допустить, что доказываемое неравенство неверно, то найдется такое , что

                                         (9)                                                                          

Если , то равенства в (9) опускаются. Так как разложение (8) бесконечно, то найдется такое , что  . Поэтому

,

и получилось противоречие с неравенством (5).