§ 2.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел  . Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами . Тогда получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.

Если последовательность  сходится (к конечному числу,  или ), то очевидно, что и любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конечному,  или  ).

Последовательность

                                (1)

может служить примером не сходящейся последовательности чисел. Все же мы видим, что эта последовательность содержит в себе подпоследовательность 

,

сходящуюся (к 1). Возникает вопрос, всегда ли это так, всякая ли последовательность действительных чисел содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу (конечному, , ). Положительный ответ на этот вопрос дает

Т е о р е м а  1. Из всякой последовательности действительных чисел  можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к конечному числу, или к , или к .

В случае, когда последовательность  не ограничена сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпоследовательность, стремящуюся к  (к ), что доказывает теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 1 сводится к следующей теореме.

Т е о р е м а  2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности  можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность точек  ограничена, то все они принадлежат к некоторому отрезку , который обозначим через . Разделим  на два равных отрезка и обозначим через   самый правый из  них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Один из этих элементов обозначим через . Правее , если есть, то конечное число точек . Разделим  на два равных отрезка и обозначим через  самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов . Выберем среди этих элементов один   с номером . Правее , если есть точки , то их конечное число.

Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых , , и  подпоследовательность точек нашей последовательности таких, что . При этом правее каждого из отрезков имеется не более чем конечное число элементов .

На основании принципа вложенных отрезков существует точка , принадлежащая к любому из отрезков . Очевидно, что подпоследовательность  имеет своим пределом  , и мы доказали теорему.