§ 2.10. Верхний и нижний пределы

Если задана произвольная последовательность действительных чисел , то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности.

Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности  .

По определению верхним пределом последовательности  (или переменной ) называется число  (конечное,  или ), обладающее следующими двумя свойствами.

1) Существует подпоследовательность  последовательности , сходящаяся к :

.

2) Для любой сходящейся подпоследовательности   последовательности  

.

Верхний предел последовательности  обозначают одним из символов

.

Если последовательность  не ограничена сверху, то очевидно,

.

Переменная   имеет  .

Вот еще пример:

.

Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел

.

Для ограниченной сверху последовательности  ее верхний предел   может быть определен также следующим образом: для всякого  правее  имеется разве что конечное число точек , правее же  заведомо имеется бесконечное число точек .

Отметим, что если последовательность  имеет обычный (конечный) предел , то, как мы знаем, для любого  неравенства  выполняются для всех , за исключением их конечного числа. Таким образом, правее  имеется не более чем конечное число элементов , а правее  - заведомо бесконечное их число.

Это показывает также, что .

Итак, если  , то и  .

Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левее  имеется не более чем конечное число точек , а в случае верхнего предела левее  может быть и бесконечное число точек .

По определению нижним пределом последовательности  (или переменной ) называется число  (конечное,  или  ), обладающее следующими свойствами:

1) Существует подпоследовательность  последовательности , сходящаяся к :

.

2) Для любой сходящейся подпоследовательности   последовательности

.

Нижний предел переменной   обозначают одним из символов

.

Если последовательность  не ограничена снизу, то, очевидно,

.

Для ограниченной снизу последовательности нижний предел  можно определить также следующим образом: для всякого  левее  имеется разве что конечное число точек (элементов) , левее же  заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) .

 Очевидно, что

.                                    (1)

Т е о р е м а  1. Для того чтобы последовательность  имела предел (конечный,  или ), необходимо и достаточно, чтобы  , и тогда .

Заметим, что если , то в силу (1)  , и по теореме 1

.

Очевидно также, что из равенства  вытекает, что

.

З а м е ч а н и е. Можно показать, что число , которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, является верхним пределом :

.

Это вытекает из того, что правее каждого отрезка   имеется не больше чем конечное число точек  .

С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления  на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек , то мы бы получили, возможно, другую точку , содержащуюся во всех , и эта точка была бы нижним пределом  .

Если переменная  не имеет предела, то заведомо , если же предел  существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу  .