§ 2.10. Верхний и нижний пределы
Если задана произвольная последовательность действительных чисел
, то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности.
Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности
.
По определению верхним пределом последовательности
(или переменной
) называется число
(конечное,
или
), обладающее следующими двумя свойствами.
1) Существует подпоследовательность
последовательности
, сходящаяся к
:
.
2) Для любой сходящейся подпоследовательности
последовательности 
.
Верхний предел последовательности
обозначают одним из символов
.
Если последовательность
не ограничена сверху, то очевидно,
.
Переменная
имеет
.
Вот еще пример:
.
Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел
.
Для ограниченной сверху последовательности
ее верхний предел
может быть определен также следующим образом: для всякого
правее
имеется разве что конечное число точек
, правее же
заведомо имеется бесконечное число точек
.
Отметим, что если последовательность
имеет обычный (конечный) предел
, то, как мы знаем, для любого
неравенства
выполняются для всех
, за исключением их конечного числа. Таким образом, правее
имеется не более чем конечное число элементов
, а правее
- заведомо бесконечное их число.
Это показывает также, что
.
Итак, если
, то и
.
Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левее
имеется не более чем конечное число точек
, а в случае верхнего предела левее
может быть и бесконечное число точек
.
По определению нижним пределом последовательности
(или переменной
) называется число
(конечное,
или
), обладающее следующими свойствами:
1) Существует подпоследовательность
последовательности
, сходящаяся к
:
.
2) Для любой сходящейся подпоследовательности
последовательности 
.
Нижний предел переменной
обозначают одним из символов
.
Если последовательность
не ограничена снизу, то, очевидно,
.
Для ограниченной снизу последовательности нижний предел
можно определить также следующим образом: для всякого
левее
имеется разве что конечное число точек (элементов)
, левее же
заведомо имеется бесконечное число точек (элементов)
.
Очевидно, что
. (1)
Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность
имела предел (конечный,
или
), необходимо и достаточно, чтобы
, и тогда
.
Заметим, что если
, то в силу (1)
, и по теореме 1
.
Очевидно также, что из равенства
вытекает, что
.
З а м е ч а н и е. Можно показать, что число
, которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, является верхним пределом
:
.
Это вытекает из того, что правее каждого отрезка
имеется не больше чем конечное число точек
.
С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления
на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек
, то мы бы получили, возможно, другую точку
, содержащуюся во всех
, и эта точка была бы нижним пределом 
.
Если переменная
не имеет предела, то заведомо
, если же предел
существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу
.