Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности

Пусть задана последовательность действительных чисел , сходящаяся к конечному пределу :

.

Это значит, что для всякого   найдется число   такое, что

.

Наряду с натуральным числом  можно подставить в это неравенство другое натуральное число :

.

Тогда

.

 Мы получили следующее утверждение: если переменная  имеет конечный предел, то для нее выполняется условие (Коши): для любого  найдется  такое, что

.

Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, называют еще фундаментальной последовательностью.

Оказывается, что имеет место также обратное утверждение: если последовательность действительных чисел  фундаментальная, т. е. удовлетворяет условию Коши, то она имеет предел, т. е. существует число  (конечное) такое, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с того, что докажем, что фундаментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим  и подберем, согласно условию Коши, число  так, что

,

откуда

или

.                               (1)

Зафиксируем   и обозначим

,

т. е. максимум чисел  , где  , и числа  . Тогда в силу (1)

,

и ограниченность последовательности   доказана.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности  можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому (конечному) числу  ,      т. е. 

.

Покажем, что в данном случае не только эта подпоследовательность, но и вся последовательность имеет предел :

.

В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для любого  найдется   такое, что

.                             (2)

С другой стороны, в силу того что  , можно указать такое , что

.                              (3)

В силу (2), где надо положить , и (3) имеем

,

и мы доказали, что последовательность  имеет предел, равный .

Итак, доказана.

Т е о р е м а  1 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы последовательность действительных чисел  имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовлетворяла условию Коши).

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>