§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности

Пусть задана последовательность действительных чисел , сходящаяся к конечному пределу :

Это значит, что для всякого найдется число такое, что

Наряду с натуральным числом можно подставить в это неравенство другое натуральное число :

Тогда

Мы получили следующее утверждение: если переменная имеет конечный предел, то для нее выполняется условие (Коши): для любого найдется такое, что

Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, называют еще фундаментальной последовательностью.

Оказывается, что имеет место также обратное утверждение: если последовательность действительных чисел фундаментальная, т. е. удовлетворяет условию Коши, то она имеет предел, т. е. существует число (конечное) такое, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с того, что докажем, что фундаментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим и подберем, согласно условию Коши, число так, что

откуда

или

. (1)

Зафиксируем и обозначим

т. е. максимум чисел , где , и числа . Тогда в силу (1)

и ограниченность последовательности доказана.

По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому (конечному) числу , т. е.

Покажем, что в данном случае не только эта подпоследовательность, но и вся последовательность имеет предел :

В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для любого найдется такое, что

. (2)

С другой стороны, в силу того что , можно указать такое , что

. (3)

В силу (2), где надо положить , и (3) имеем

и мы доказали, что последовательность имеет предел, равный .

Итак, доказана.

Т е о р е м а 1 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы последовательность действительных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовлетворяла условию Коши).